中国科学技术大学 2026年数学分析第0题

已知 $f(x) \in C[0,1]$，且对任意 $0 \leq a < b \leq 1$，$f$ 在 $[a,b]$ 上至少有两个不同的最大值点。这意味着在任何非退化子区间上，最大值点集至少包含两个不同的点，即最大值不能在区间内部唯一达到。

假设 $f$ 不是常值函数，则存在 $x_1, x_2 \in [0,1]$ 使得 $f(x_1) \neq f(x_2)$。设 $M = \max_{x \in [0,1]} f(x)$，$m = \min_{x \in [0,1]} f(x)$，则 $M > m$。令 $E = \{ x \in [0,1] : f(x) = M \}$，由于 $f$ 连续，$E$ 是闭集。

由于 $E$ 是闭真子集，其补集 $[0,1] \setminus E$ 是非空开集。取 $y \in [0,1] \setminus E$，则 $f(y) < M$。由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得 $[y-\delta, y+\delta] \cap [0,1]$ 中所有点的函数值都小于 $M$。记 $I = [y-\delta, y+\delta] \cap [0,1]$，则 $I$ 是一个非退化闭区间且 $f(x) < M$ 对一切 $x \in I$ 成立。

在闭区间 $I$ 上，$f$ 连续，故存在最大值 $M_I = \max_{x \in I} f(x)$，且 $M_I < M$。设最大值点集为 $E_I = \{ x \in I : f(x) = M_I \}$。由题设条件，$E_I$ 至少包含两个不同的点。取 $x_0 \in E_I$，则 $x_0$ 是 $I$ 上的最大值点。

由于 $E_I$ 至少有两个点，取其中两个不同的点 $p, q \in E_I$，且 $p < q$。考虑子区间 $[p, q] \subset I$。在 $[p, q]$ 上，$f$ 的最大值仍为 $M_I$（因为端点已取到 $M_I$），且最大值点至少包含 $p$ 和 $q$。但若 $f$ 在 $(p,q)$ 内某点 $r$ 处也取到 $M_I$，则继续取 $p$ 与 $r$ 或 $r$ 与 $q$ 之间的子区间。由于 $f$ 连续且非常值，必存在某个子区间 $[u,v] \subset [p,q]$ 使得 $f$ 在 $[u,v]$ 上的最大值仅在端点 $u$ 和 $v$ 处达到（例如取 $u = \inf\{ x \in [p,q] : f(x) = M_I \}$，$v = \sup\{ x \in [p,q] : f(x) = M_I \}$，则 $u < v$ 且 $f(u)=f(v)=M_I$，而在 $(u,v)$ 内 $f(x) < M_I$）。此时 $[u,v]$ 上只有两个最大值点 $u$ 和 $v$，但题设要求“至少两个”，这并不矛盾。然而，我们可以进一步考虑 $[u, (u+v)/2]$ 或 $[(u+v)/2, v]$，这些子区间上最大值点可能唯一（例如若 $f$ 在 $(u, (u+v)/2)$ 内严格小于 $M_I$，则 $[u, (u+v)/2]$ 上最大值点只有 $u$ 一个），这就与题设矛盾。

更严格地：在 $[u,v]$ 上，$f(u)=f(v)=M_I$，且对任意 $x \in (u,v)$，$f(x) < M_I$。取 $c = \frac{u+v}{2}$，则 $f(c) < M_I$。考虑区间 $[u, c]$，由于 $f$ 在 $[u,c]$ 上连续，最大值在 $u$ 处达到（因为 $f(u)=M_I$ 且 $f(x) < M_I$ 对 $x \in (u,c]$ 成立），且最大值点只有 $u$ 一个（因为 $c$ 处函数值小于 $M_I$，且 $u$ 是唯一端点）。这与题设“至少有两个不同的最大值点”矛盾。