中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上反常可积，即 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，定义函数 $\displaystyle \varphi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (x t) \mathrm{d} t$ ，证明： $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确一致连续的定义，写出需要证明的结论
要证明 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，即：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|\varphi(x_1) - \varphi(x_2)| < \varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in\mathbb{R}, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon$
提示：注意一致连续与普通连续的区别：这里的 $\delta$ 不能依赖于 $x_1, x_2$ 的具体位置。
步骤 2/6
目标：写出差值的表达式并利用三角恒等式放缩
首先写出差值：
$$
\varphi(x_1) - \varphi(x_2) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) [\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)] \, dt.
$$
利用三角恒等式 $\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$，得到
$$
|\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)| = 2 \left| \sin\left(\frac{(x_1+x_2)t}{2}\right) \sin\left(\frac{(x_1-x_2)t}{2}\right) \right| \le 2 \left| \sin\left(\frac{(x_1-x_2)t}{2}\right) \right|.
$$
再利用 $|\sin u| \le |u|$，得到
$$
|\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)| \le |x_1 - x_2| \, |t|.
$$
同时，显然也有上界 $2$。
公式：$|\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)| \le \min(2, |x_1 - x_2| |t|)$
提示：这里使用两种放缩是为了后续分段处理：大 $t$ 时用常数上界，小 $t$ 时用线性上界。
步骤 3/6
目标：对差值进行积分估计，并分段处理
于是
$$
|\varphi(x_1) - \varphi(x_2)| \le \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \cdot |\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)| \, dt.
$$
将积分分成 $|t| > T$ 和 $|t| \le T$ 两部分，其中 $T$ 待定。
公式：$|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)| \le \int_{|t|>T} |f(t)| \cdot 2 \, dt + \int_{|t|\le T} |f(t)| \cdot |x_1-x_2| |t| \, dt$
提示：分段是处理含参数积分一致连续问题的常用技巧。
步骤 4/6
目标：利用绝对可积性控制大 $t$ 部分
因为 $\int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$ 收敛，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $T > 0$ 使得
$$
\int_{|t| > T} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{4}.
$$
于是大 $t$ 部分积分满足
$$
\int_{|t| > T} |f(t)| \cdot 2 \, dt < 2 \cdot \frac{\varepsilon}{4} = \frac{\varepsilon}{2}.
$$
公式：$\int_{|t|>T} |f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{4} \Rightarrow \int_{|t|>T} 2|f(t)| \, dt < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：这里 $T$ 的选取只依赖于 $\varepsilon$，与 $x_1, x_2$ 无关，这是关键。
步骤 5/6
目标：控制小 $t$ 部分并选择 $\delta$
对于 $|t| \le T$，使用 $|\cos(x_1 t) - \cos(x_2 t)| \le |x_1 - x_2| |t| \le |x_1 - x_2| T$，于是
$$
\int_{|t| \le T} |f(t)| \cdot |x_1 - x_2| T \, dt = |x_1 - x_2| T \int_{|t| \le T} |f(t)| \, dt \le |x_1 - x_2| T M,
$$
其中 $M = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$ 是有限常数。
令 $|x_1 - x_2| T M < \frac{\varepsilon}{2}$，解得 $|x_1 - x_2| < \frac{\varepsilon}{2 T M}$。取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2 T M}$，则当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，小 $t$ 部分小于 $\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\delta = \frac{\varepsilon}{2 T M}$，其中 $M = \int_{-\infty}^{+\infty} |f(t)| \, dt$
提示：注意 $M$ 是有限常数，$T$ 由第一步选取，因此 $\delta$ 与 $x_1, x_2$ 无关。
步骤 6/6
目标：合并两部分并得出结论
当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，两部分之和为
$$
|\varphi(x_1) - \varphi(x_2)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.
$$
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \frac{\varepsilon}{2 T M} > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|\varphi(x_1) - \varphi(x_2)| < \varepsilon$。由一致连续的定义，$\varphi(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：$|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)| < \varepsilon$ 对任意 $|x_1-x_2|<\delta$ 成立
提示：证明中 $\delta$ 的选取不依赖于 $x_1, x_2$，这正是一致连续的核心。
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