中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{|x y|^{\alpha}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=0 .\end{cases}$
（1）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续？
（2）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析连续性条件
函数在原点连续要求极限等于函数值0，即
\[
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}=0.
\]
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2}=0
提示：注意极限是否存在与方向无关，需考虑所有趋近路径。
步骤 2/8
目标：使用极坐标变换简化极限
令 \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)，则
\[
|xy|^\alpha = \left(\frac{r^2}{2}|\sin2\theta|\right)^\alpha = \frac{r^{2\alpha}}{2^\alpha}|\sin2\theta|^\alpha,
\]
分母 \(x^2+y^2=r^2\)，所以
\[
\frac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2} = \frac{r^{2\alpha-2}}{2^\alpha}|\sin2\theta|^\alpha.
\]
公式：\frac{|xy|^\alpha}{x^2+y^2} = \frac{r^{2\alpha-2}}{2^\alpha}|\sin2\theta|^\alpha
提示：极坐标变换是处理含 \(x^2+y^2\) 极限的常用技巧。
步骤 3/8
目标：讨论指数对极限的影响
当 \(r\to0\) 时，\(r^{2\alpha-2}\) 的行为决定极限：
- 若 \(2\alpha-2>0\) 即 \(\alpha>1\)，则 \(r^{2\alpha-2}\to0\)，且 \(|\sin2\theta|^\alpha\) 有界，极限为0；
- 若 \(2\alpha-2=0\) 即 \(\alpha=1\)，表达式为 \(\frac{1}{2}|\sin2\theta|\)，依赖方向，极限不存在；
- 若 \(2\alpha-2<0\) 即 \(\alpha<1\)，则 \(r^{2\alpha-2}\to\infty\)（除 \(\sin2\theta=0\) 方向外），极限不存在。
公式：2\alpha-2>0 \Rightarrow \alpha>1
提示：注意 \(|\sin2\theta|^\alpha\) 有界但不恒为零，需考虑所有方向。
步骤 4/8
目标：得出连续性条件
因此，函数在原点连续当且仅当 \(\alpha>1\)。
公式：\boxed{\alpha>1}
提示：连续性是可微性的必要条件。
步骤 5/8
目标：计算偏导数在原点处的值
由定义：
\[
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0,
\]
因为 \(f(h,0)=0\)（\(y=0\) 时分子为0）。同理 \(f_y(0,0)=0\)。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：偏导数存在是可微的必要条件，但非充分。
步骤 6/8
目标：建立可微性判别极限
函数在原点可微要求
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0,
\]
代入得
\[
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|hk|^\alpha}{(h^2+k^2)\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|hk|^\alpha}{(h^2+k^2)^{3/2}}.
\]
公式：\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{|hk|^\alpha}{(h^2+k^2)^{3/2}}=0
提示：注意分母次数为3，分子次数为 \(2\alpha\)。
步骤 7/8
目标：再次使用极坐标分析可微性极限
令 \(h=r\cos\theta\), \(k=r\sin\theta\)，则
\[
|hk|^\alpha = r^{2\alpha}|\cos\theta\sin\theta|^\alpha,\quad (h^2+k^2)^{3/2}=r^3,
\]
所以
\[
\frac{|hk|^\alpha}{(h^2+k^2)^{3/2}} = r^{2\alpha-3}|\cos\theta\sin\theta|^\alpha.
\]
当 \(r\to0\) 时，极限为0当且仅当 \(2\alpha-3>0\)，即 \(\alpha>\frac{3}{2}\)。
公式：2\alpha-3>0 \Rightarrow \alpha>\frac{3}{2}
提示：若 \(\alpha=\frac{3}{2}\)，表达式为 \(|\cos\theta\sin\theta|^{3/2}\)，依赖方向，极限不为0。
步骤 8/8
目标：得出可微性条件
因此，函数在原点可微当且仅当 \(\alpha>\frac{3}{2}\)。
公式：\boxed{\alpha>\frac{3}{2}}
提示：可微性要求比连续性更强的条件。
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