中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．（10 分）设 $\displaystyle f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ 满足
$$
|f(x)-f(y)|<|x-y|, \forall x, y \in[0,1], x \neq y
$$
证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并分析端点符号
定义辅助函数 $g(x) = f(x) - x$。由于 $f: [0,1] \to [0,1]$，有 $f(0) \ge 0$，故 $g(0) = f(0) - 0 \ge 0$；$f(1) \le 1$，故 $g(1) = f(1) - 1 \le 0$。
公式：$g(x)=f(x)-x$
提示：注意端点值可能恰好为0，此时不动点已找到。
步骤 2/4
目标：利用介值定理证明存在性
若 $g(0)=0$ 或 $g(1)=0$，则不动点存在。否则 $g(0)>0$ 且 $g(1)<0$。由条件 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ 可知 $f$ 连续（实际上满足Lipschitz条件），从而 $g$ 连续。由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。
公式：$\exists \xi \in (0,1), g(\xi)=0$
提示：介值定理要求函数连续，需先说明$f$的连续性。
步骤 3/4
目标：反证法证明唯一性
假设存在两个不同的不动点 $\xi_1, \xi_2 \in [0,1]$，$\xi_1 \neq \xi_2$，满足 $f(\xi_1)=\xi_1$，$f(\xi_2)=\xi_2$。代入题目条件得 $|\xi_1-\xi_2| = |f(\xi_1)-f(\xi_2)| < |\xi_1-\xi_2|$，矛盾。故唯一性成立。
公式：$|\xi_1-\xi_2| = |f(\xi_1)-f(\xi_2)| < |\xi_1-\xi_2|$
提示：注意严格不等式$<$与等式矛盾，这是关键。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合存在性与唯一性，存在唯一的 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f(\xi)=\xi$。
公式：$\exists! \xi \in [0,1], f(\xi)=\xi$
提示：唯一性证明中无需使用连续性，仅依赖条件中的不等式。
步骤 5/5
目标：综合结论
由存在性和唯一性，存在唯一的 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f(\xi)=\xi$。
公式：\exists! \xi \in [0,1], \; f(\xi)=\xi
提示：结论已完整。
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