中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，满足
$$
f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件和目标
已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^2}$。要证明存在 $\xi \in (0,+\infty)$，使得 $f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。注意到右边是 $g(x)=\frac{x}{1+x^2}$ 的导数，即 $g'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。因此目标等价于证明存在 $\xi$ 使得 $f'(\xi)=g'(\xi)$。
公式：g(x)=\frac{x}{1+x^2}, \quad g'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}
提示：注意观察目标导数形式与已知函数导数的关系，这是构造辅助函数的关键。
步骤 2/4
目标：构造函数并分析端点性质
令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导。由条件，当 $x=0$ 时，$0 \leq f(0) \leq 0$，故 $f(0)=0$，而 $g(0)=0$，所以 $h(0)=0$。当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{x}{1+x^2} \to 0$，由夹逼定理得 $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$，且 $g(x)\to 0$，故 $\lim_{x\to+\infty} h(x)=0$。
公式：h(0)=0, \quad \lim_{x\to+\infty} h(x)=0
提示：注意利用夹逼定理得到 $f(x)$ 在无穷远处的极限。
步骤 3/4
目标：应用极值存在性论证
若 $h(x)\equiv 0$，则任意 $\xi>0$ 都满足 $f'(\xi)=g'(\xi)$，结论成立。若 $h(x)$ 不恒为零，则存在 $x_0>0$ 使得 $h(x_0)\neq 0$。不妨设 $h(x_0)>0$（负的情况类似）。由于 $h(0)=0$ 且 $h(x)\to 0$，由连续函数的性质，$h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上必有正的最大值点 $\xi>0$（最大值在内部达到）。
公式：\exists \xi>0, \text{使得 } h(\xi)=\max_{x\geq 0} h(x) \text{ 或 } \min_{x\geq 0} h(x)
提示：注意无穷区间上连续函数极值的存在性需要结合极限行为，这里利用 $h(0)=0$ 和 $h(x)\to 0$ 保证内部极值点存在。
步骤 4/4
目标：利用Fermat引理得到导数关系
在极值点 $\xi>0$ 处，由Fermat引理，$h'(\xi)=0$。而 $h'(x)=f'(x)-g'(x)$，因此 $f'(\xi)-g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=g'(\xi)=\frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。结论得证。
公式：h'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)=g'(\xi)=\frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}
提示：Fermat引理要求极值点在区间内部，这里 $\xi>0$ 满足条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
综上，存在 $\xi \in (0, +\infty)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$，命题得证。
公式：\exists \xi > 0, \; f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}
提示：最终结论要明确写出存在性和等式。
步骤 6/8
目标：利用极限和介值定理找到另一个零点
由于 $\lim_{x\to +\infty} g(x)=0$，存在 $x_1>x_0$ 使得 $g(x_1)>g(x_0)$。由介值定理，存在 $\xi\in(c,x_1)$ 使得 $g(\xi)=0$。
提示：注意 $g(x_1)$ 可能大于0，但 $g(x_0)<0$，故有零点。
步骤 7/8
目标：在区间 $[c,\xi]$ 上应用罗尔定理
在区间 $[c,\xi]$ 上，$g(c)=g(\xi)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta\in(c,\xi)$ 使得 $g'(\eta)=0$，即 $f'(\eta)=\frac{1-\eta^{2}}{(1+\eta^{2})^{2}}$。
公式：罗尔定理：若 $g(a)=g(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $g'(\xi)=0$
提示：注意 $g'(\eta)=f'(\eta)-\frac{1-\eta^{2}}{(1+\eta^{2})^{2}}$。
步骤 8/8
目标：结论
综上，存在 $\xi\in(0,+\infty)$ 满足 $f'(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{(1+\xi^{2})^{2}}$。
提示：注意 $\xi$ 的存在性已证。
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