中国科学技术大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．（20分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一有光滑边界的有界区域，设 $\displaystyle u \in C^{2}(\Omega) \cap C^{1}(\bar{\Omega})$ ，且 $\displaystyle \Delta u=0$ ．
（1）证明： $\displaystyle \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{\Omega}\|\nabla u\|^{2} \mathrm{~d} V$ ．
（2）若 $\displaystyle \left.u\right|_{\partial \Omega} \equiv 1$ ，证明：$\displaystyle u \equiv 1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：应用高斯公式于向量场 u∇u
考虑向量场 $u \nabla u$，由高斯公式（散度定理）有：
$$\iiint_{\Omega} \nabla \cdot (u \nabla u) \, dV = \iint_{\partial \Omega} (u \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS.$$
公式：$$\iiint_{\Omega} \nabla \cdot (u \nabla u) \, dV = \iint_{\partial \Omega} (u \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS$$
提示：注意 $\mathbf{n}$ 是单位外法向量，$\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$。
步骤 2/8
目标：将面积分转化为题目所需形式
由于 $\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot \mathbf{n}$，面积分可写为：
$$\iint_{\partial \Omega} (u \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS = \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS.$$
公式：$$\iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iint_{\partial \Omega} (u \nabla u) \cdot \mathbf{n} \, dS$$
提示：方向导数的定义是本题转化的关键。
步骤 3/8
目标：计算散度并利用调和条件
计算 $\nabla \cdot (u \nabla u)$：
$$\nabla \cdot (u \nabla u) = \nabla u \cdot \nabla u + u \Delta u = \|\nabla u\|^2 + u \Delta u.$$
由已知 $\Delta u = 0$，得 $\nabla \cdot (u \nabla u) = \|\nabla u\|^2$。
公式：$$\nabla \cdot (u \nabla u) = \|\nabla u\|^2$$
提示：注意向量恒等式：$\nabla \cdot (f \mathbf{F}) = \nabla f \cdot \mathbf{F} + f \nabla \cdot \mathbf{F}$。
步骤 4/8
目标：代入高斯公式得到第一问结论
将散度结果代入高斯公式：
$$\iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV = \iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS.$$
第一问证毕。
公式：$$\iint_{\partial \Omega} u \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV$$
提示：这是调和函数的一个基本恒等式，类似于分部积分。
步骤 5/8
目标：利用边界条件简化第一问等式左边
已知 $u|_{\partial \Omega} \equiv 1$，代入第一问结果：
$$\iint_{\partial \Omega} 1 \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV.$$
即
$$\iint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV.$$
公式：$$\iint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV$$
提示：边界值为常数1，可直接提出积分号。
步骤 6/8
目标：利用调和函数性质得到左边为零
由于 $\Delta u = 0$，对 $\nabla u$ 再次应用高斯公式：
$$\iint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \Delta u \, dV = 0.$$
因此
$$\iiint_{\Omega} \|\nabla u\|^2 \, dV = 0.$$
公式：$$\iint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial n} \, dS = \iiint_{\Omega} \Delta u \, dV = 0$$
提示：调和函数法向导数在边界上的积分为零。
步骤 7/8
目标：由梯度为零推出u为常数
被积函数 $\|\nabla u\|^2 \geq 0$ 且连续，积分等于零意味着在 $\Omega$ 内处处有 $\|\nabla u\|^2 = 0$，即 $\nabla u \equiv 0$。故 $u$ 在 $\Omega$ 内为常数。
公式：$$\nabla u \equiv 0 \quad \text{在 } \Omega \text{ 内}$$
提示：非负连续函数的积分为零，则函数恒为零。
步骤 8/8
目标：结合边界条件确定常数
由 $u|_{\partial \Omega} \equiv 1$ 及 $u$ 在 $\bar{\Omega}$ 上的连续性，可知该常数必为 $1$。因此 $u \equiv 1$ 在 $\bar{\Omega}$ 上成立。
公式：$$u \equiv 1 \quad \text{在 } \bar{\Omega} \text{ 上}$$
提示：边界值决定了调和函数在区域内部的唯一性。
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