中国科学院大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）计算曲线积分
$$
I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是 $\displaystyle [0, a] \times[0, a] \times[0, a]$ 的表面与平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向．十．（15 分）证明：光滑曲线 $\displaystyle y=f(x)(f(x)>0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面面积为
$$
S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析曲线形状与方向，确定使用斯托克斯公式
曲线 $L$ 是立方体 $[0,a]\times[0,a]\times[0,a]$ 的表面与平面 $x+y+z=\frac{3}{2}a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向。由于直接计算曲线积分复杂，且被积函数与旋度相关，考虑使用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分。
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS$
提示：注意曲线方向与曲面法向量的右手法则：从上往下看逆时针方向对应法向量向上（与z轴正向成锐角）。
步骤 2/6
目标：计算向量场的旋度
设 $\mathbf{F} = (y^2 - z^2,\; z^2 - x^2,\; x^2 - y^2)$。计算旋度：
$$
\nabla\times\mathbf{F} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
y^2 - z^2 & z^2 - x^2 & x^2 - y^2
\end{vmatrix}
$$
第一分量：$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) - \frac{\partial}{\partial z}(z^2 - x^2) = -2y - 2z$
第二分量：$\frac{\partial}{\partial z}(y^2 - z^2) - \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) = -2z - 2x$
第三分量：$\frac{\partial}{\partial x}(z^2 - x^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2 - z^2) = -2x - 2y$
所以 $\nabla\times\mathbf{F} = (-2(y+z),\; -2(z+x),\; -2(x+y))$。
公式：$\nabla\times\mathbf{F} = (-2(y+z), -2(z+x), -2(x+y))$
提示：旋度计算时注意偏导顺序，避免符号错误。
步骤 3/6
目标：选取曲面并确定法向量
取曲面 $S$ 为平面 $x+y+z=\frac{3}{2}a$ 上被立方体截出的多边形区域。方向：从上往下看逆时针，对应法向量向上。平面的法向量为 $(1,1,1)$，单位化得 $\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$，其第三个分量为正，符合向上要求。
公式：$\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$
提示：法向量方向必须与曲线方向满足右手法则，否则结果符号会相反。
步骤 4/6
目标：计算被积函数在曲面上的值
计算 $(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}$：
$$
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}[-2(y+z) -2(z+x) -2(x+y)] = \frac{-2}{\sqrt{3}}(2x+2y+2z) = \frac{-4}{\sqrt{3}}(x+y+z)
$$
在曲面 $S$ 上，$x+y+z = \frac{3}{2}a$ 为常数，代入得：
$$
(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = \frac{-4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3}{2}a = -2\sqrt{3}\,a
$$
公式：$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = -2\sqrt{3}\,a$
提示：注意常数因子化简，避免计算错误。
步骤 5/6
目标：求曲面S的面积
曲面 $S$ 是平面 $x+y+z=\frac{3}{2}a$ 被立方体 $[0,a]^3$ 截出的正六边形。通过求平面与立方体各面的交线端点（例如与 $x=0$ 交于 $(0,\frac{a}{2},a)$ 和 $(0,a,\frac{a}{2})$），可得六边形边长为 $s = \frac{a}{\sqrt{2}}$。正六边形面积公式：$S_{\text{hex}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$，代入得：
$$
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2
$$
公式：$S = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$
提示：正六边形边长计算：两点间距离公式，注意对称性简化计算。
步骤 6/6
目标：计算曲面积分得到曲线积分结果
由斯托克斯公式：
$$
I = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_S (-2\sqrt{3}\,a)\,dS = -2\sqrt{3}\,a \times \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2
$$
计算：$\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$，所以
$$
I = -2a \times 3 \times \frac{3}{4}a^2 = -\frac{9}{2}a^3
$$
公式：$I = -\frac{9}{2}a^3$
提示：注意常数乘法，最终结果化简为最简形式。
步骤 7/8
目标：代回计算曲线积分结果
将面积代入 $I = \frac{-6a}{\sqrt{3}} \cdot \text{Area}(S)$：
$$I = \frac{-6a}{\sqrt{3}} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 = -6a \cdot \frac{3}{4}a^2 = -\frac{9}{2}a^3$$
公式：$I = -\frac{9}{2}a^3$
提示：计算时注意 $\sqrt{3}$ 约掉，最终结果不含根号。
步骤 8/8
目标：第十题：证明旋转曲面面积公式
设光滑曲线 $y = f(x) > 0$，$x \in [a,b]$。考虑区间 $[x, x+dx]$ 上的弧长微元：
$$ds = \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$
该微元绕 $x$ 轴旋转一周，形成圆台侧面，其半径近似为 $f(x)$，侧面积微元为：
$$dS = 2\pi \cdot (\text{半径}) \cdot ds = 2\pi f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$
从 $x=a$ 到 $x=b$ 积分，得旋转曲面面积：
$$S = \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$$
证毕。
公式：$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx$
提示：注意 $f(x) > 0$ 保证半径为正；弧长微元 $ds$ 的推导是基础，不要遗漏根号。
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