中国科学院大学 2024年数学分析第0题

题目给出三个条件： (1) $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。 (2) $f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在（即 $\lim_{x\to a^+} f(x)$ 和 $\lim_{x\to b^-} f(x)$ 都存在且有限）。 (3) $f(x)$ 可延拓成 $[a,b]$ 上的连续函数。 为了证明它们等价，采用循环证明法：证明 (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)。

假设 $f$ 在 $(a,b)$ 上一致连续。由定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-y|<\delta$ 且 $x,y\in(a,b)$ 时，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。 考虑 $x\to a^+$ 时的极限。取数列 $x_n\to a^+$，则对充分大的 $m,n$，有 $|x_m-x_n|<\delta$，从而 $|f(x_m)-f(x_n)|<\varepsilon$，所以 $\{f(x_n)\}$ 是柯西列，因此收敛。由海涅定理可知，极限 $\lim_{x\to a^+} f(x)$ 存在且有限。同理可证在 $b$ 处极限存在。故 (2) 成立。

已知 $\lim_{x\to a^+} f(x)=L$，$\lim_{x\to b^-} f(x)=M$ 都存在且有限。 定义新函数： $$F(x) = \begin{cases} L, & x=a,\\ f(x), & a

公式：$F(x)=\begin{cases} \lim_{x\to a^+}f(x), & x=a \\ f(x), & a

提示：延拓的关键是补充端点定义，并验证连续性条件（左右极限等于函数值）。

步骤 4/5

目标：证明 (3) ⇒ (1)：由延拓函数的一致连续性推出原函数一致连续

若 $f$ 可延拓成 $[a,b]$ 上的连续函数 $F$，则 $F$ 在闭区间上连续。由康托尔定理（闭区间上连续函数必一致连续），$F$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。而 $f$ 是 $F$ 在 $(a,b)$ 上的限制，因此 $f$ 在 $(a,b)$ 上也一致连续。故 (1) 成立。

公式：康托尔定理：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数必一致连续。

提示：注意一致连续性是区间上的整体性质，限制在子区间上仍然保持。

步骤 5/5

目标：总结等价性

我们已经证明： - (1) ⇒ (2) - (2) ⇒ (3) - (3) ⇒ (1) 因此三个条件等价。即： （1）$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续； （2）$f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在； （3）$f(x)$ 可延拓成 $[a,b]$ 上的连续函数。

提示：循环证明完成，注意每一步的逻辑严密性。