中国科学院大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）估计 $\displaystyle \ln 2$ 的近似值，精确到 0.0001 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：选择收敛较快的级数展开式
由于 $\ln(1+x)$ 在 $x=1$ 处收敛缓慢，改用 $\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots\right)$。令 $\frac{1+x}{1-x}=2$，解得 $x=\frac{1}{3}$，从而得到 $\ln 2 = 2\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 3^3}+\frac{1}{5\cdot 3^5}+\frac{1}{7\cdot 3^7}+\cdots\right)$。
公式：\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x|<1
提示：直接使用 $\ln(1+x)$ 在 $x=1$ 处展开收敛极慢，必须选择加速收敛的方法。
步骤 2/5
目标：计算级数的前几项数值
第一项：$2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\approx 0.66666667$；
第二项：$2\times\frac{1}{3\cdot 3^3}=2\times\frac{1}{81}=\frac{2}{81}\approx 0.02469136$；
第三项：$2\times\frac{1}{5\cdot 3^5}=2\times\frac{1}{5\cdot 243}=\frac{2}{1215}\approx 0.00164609$；
第四项：$2\times\frac{1}{7\cdot 3^7}=2\times\frac{1}{7\cdot 2187}=\frac{2}{15309}\approx 0.00013064$；
第五项：$2\times\frac{1}{9\cdot 3^9}=2\times\frac{1}{9\cdot 19683}=\frac{2}{177147}\approx 0.00001129$。
公式：a_n = \frac{2}{(2n-1)\cdot 3^{2n-1}},\quad n=1,2,3,\ldots
提示：计算时注意分母中3的幂次，避免指数计算错误。
步骤 3/5
目标：估计截断误差并确定所需项数
该级数为正项递减级数，余项 $R_n$ 小于第 $n+1$ 项。取前四项时，第五项 $\approx 0.00001129 < 0.00005$（即精度要求 $0.0001$ 的一半），因此前四项之和可保证精确到 $0.0001$。
公式：R_n < a_{n+1} = \frac{2}{(2n+1)\cdot 3^{2n+1}}
提示：对于正项递减级数，截断误差可用下一项估计，但需注意此处不是交错级数，直接比较下一项即可。
步骤 4/5
目标：求和并四舍五入得到近似值
前四项相加：
$0.66666667 + 0.02469136 = 0.69135803$；
$+0.00164609 = 0.69300412$；
$+0.00013064 = 0.69313476$。
四舍五入到小数点后四位得 $0.6931$。
公式：\ln 2 \approx \sum_{n=1}^{4} \frac{2}{(2n-1)\cdot 3^{2n-1}} = 0.69313476 \approx 0.6931
提示：四舍五入时注意第五位小数是3，小于5，故第四位不变。
步骤 5/5
目标：验证精度
第五项 $0.00001129 < 0.00005$，因此前四项之和的误差不超过 $0.00005$，即 $\ln 2 = 0.6931 \pm 0.00005$，满足精确到 $0.0001$ 的要求。
公式：|\ln 2 - S_4| < a_5 = 0.00001129 < 0.00005
提示：实际误差可能更小，但用下一项估计是安全的。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。