中国科学院大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(\sqrt[n]{x}) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变量替换，将积分转化为关于新变量t的形式
令 $t = \sqrt[n]{x}$，则 $x = t^n$，$dx = n t^{n-1} dt$。当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 也从 $0$ 到 $1$。原积分化为：
$$
\int_0^1 f(\sqrt[n]{x}) \, dx = \int_0^1 f(t) \cdot n t^{n-1} \, dt
$$
公式：$\int_0^1 f(\sqrt[n]{x}) \, dx = \int_0^1 f(t) \, n t^{n-1} \, dt$
提示：注意换元时积分限的变化，以及微分 $dx$ 的正确表达式。
步骤 2/6
目标：分析权重函数的性质，为极限计算做准备
注意到 $\int_0^1 n t^{n-1} \, dt = 1$，且对于任意固定的 $\delta \in (0,1)$，当 $n \to \infty$ 时，$\int_0^{1-\delta} n t^{n-1} \, dt = (1-\delta)^n \to 0$，因此权重集中在 $t=1$ 附近。
公式：$\int_0^{1-\delta} n t^{n-1} \, dt = (1-\delta)^n \to 0$
提示：理解 $n t^{n-1}$ 在 $[0,1]$ 上是一个概率密度函数，其质量随 $n$ 增大向 $1$ 集中。
步骤 3/6
目标：利用连续函数性质，将积分拆分为两部分进行估计
设 $M = \max_{t \in [0,1]} |f(t)|$。对任意 $\varepsilon > 0$，由 $f$ 在 $t=1$ 处连续，存在 $\delta > 0$，使得当 $|t-1| < \delta$ 时，$|f(t) - f(1)| < \varepsilon$。将积分拆分为 $[0,1-\delta]$ 和 $[1-\delta,1]$ 两部分。
公式：拆分：$\int_0^1 = \int_0^{1-\delta} + \int_{1-\delta}^1$
提示：连续性是保证局部逼近的关键，注意 $\delta$ 依赖于 $\varepsilon$。
步骤 4/6
目标：估计第一部分积分，证明其趋于0
对于第一部分：
$$
\left| \int_0^{1-\delta} f(t) \, n t^{n-1} \, dt \right| \leq M \cdot n (1-\delta)^{n-1}
$$
由于 $n (1-\delta)^{n-1} \to 0$（指数衰减快于线性增长），故当 $n$ 充分大时，此项小于 $\varepsilon$。
公式：$n (1-\delta)^{n-1} \to 0$
提示：注意 $0<1-\delta<1$，指数衰减占主导。
步骤 5/6
目标：估计第二部分积分，利用连续性逼近f(1)
对于第二部分，当 $t \in [1-\delta, 1]$ 时，$|f(t)-f(1)| < \varepsilon$，且 $\int_{1-\delta}^1 n t^{n-1} \, dt \leq 1$，因此：
$$
\left| \int_{1-\delta}^1 (f(t)-f(1)) \, n t^{n-1} \, dt \right| \leq \varepsilon \cdot 1 = \varepsilon
$$
而 $f(1) \int_{1-\delta}^1 n t^{n-1} \, dt = f(1) \left(1 - (1-\delta)^n\right) \to f(1)$。
公式：$\left| \int_{1-\delta}^1 (f(t)-f(1)) \, n t^{n-1} \, dt \right| \leq \varepsilon$
提示：注意 $\int_{1-\delta}^1 n t^{n-1} \, dt = 1 - (1-\delta)^n$ 趋近于1。
步骤 6/6
目标：综合两部分，得到极限值
由以上估计：
$$
\left| \int_0^1 f(t) \, n t^{n-1} \, dt - f(1) \right| \leq 2M \cdot n (1-\delta)^{n-1} + \varepsilon
$$
当 $n$ 充分大时，$2M \cdot n (1-\delta)^{n-1} < \varepsilon$，从而整个差值小于 $2\varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，极限为 $f(1)$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(\sqrt[n]{x}) \, dx = f(1)$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，这是极限严格证明的关键。
步骤 7/7
目标：综合得到极限
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $\delta$ 如上，则存在 $N$，当 $n > N$ 时，第一部分小于 $\varepsilon$，第二部分小于 $\varepsilon$，因此
$$\left| \int_0^1 f(t) n t^{n-1} dt - f(1) \right| < 2\varepsilon.$$
故极限为 $f(1)$，即
$$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f(\sqrt[n]{x}) dx = f(1).$$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，极限存在且等于 $f(1)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。