北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）求函数 $\displaystyle u=\left(2 a x-x^{2}\right)\left(2 b y-y^{2}\right),(a b \neq 0)$ 的极值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数，并找出所有驻点
对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = (2a - 2x)(2by - y^2)$；对 $y$ 求偏导：$\frac{\partial u}{\partial y} = (2ax - x^2)(2b - 2y)$。令两个偏导数为零，得到方程组：$(2a-2x)(2by-y^2)=0$ 且 $(2ax-x^2)(2b-2y)=0$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x}=0 \Rightarrow x=a \text{ 或 } y=0 \text{ 或 } y=2b$；$\frac{\partial u}{\partial y}=0 \Rightarrow x=0 \text{ 或 } x=2a \text{ 或 } y=b$
提示：注意 $ab \neq 0$，避免出现 $a=0$ 或 $b=0$ 的无效组合。
步骤 2/5
目标：组合条件得到所有驻点
将两个条件组合：
- 若 $x=a$，则需 $y=b$，得 $(a,b)$；
- 若 $y=0$，则需 $x=0$ 或 $x=2a$，得 $(0,0)$ 和 $(2a,0)$；
- 若 $y=2b$，则需 $x=0$ 或 $x=2a$，得 $(0,2b)$ 和 $(2a,2b)$。
共五个驻点：$(0,0), (2a,0), (0,2b), (2a,2b), (a,b)$。
公式：驻点集合：$\{(0,0), (2a,0), (0,2b), (2a,2b), (a,b)\}$
提示：注意 $y=0$ 和 $y=2b$ 时，$y=b$ 条件仅在 $b=0$ 时成立，但 $b \neq 0$，故排除。
步骤 3/5
目标：计算二阶偏导数
求二阶偏导：
$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}(2a-2x)(2by-y^2) = -2(2by - y^2)$；
$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(2ax - x^2)(2b-2y) = -2(2ax - x^2)$；
$u_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}(2a-2x)(2by-y^2) = (2a-2x)(2b-2y)$。
公式：$u_{xx} = -2(2by - y^2), \quad u_{yy} = -2(2ax - x^2), \quad u_{xy} = (2a-2x)(2b-2y)$
提示：二阶偏导的表达式依赖于 $x$ 和 $y$，代入驻点时要仔细计算。
步骤 4/5
目标：判定前四个驻点的极值类型
计算判别式 $\Delta = u_{xx}u_{yy} - (u_{xy})^2$：
- 在 $(0,0)$：$u_{xx}=0, u_{yy}=0, u_{xy}=4ab$，$\Delta = -16a^2b^2 < 0$，鞍点；
- 在 $(2a,0)$：$u_{xx}=0, u_{yy}=0, u_{xy}=-4ab$，$\Delta = -16a^2b^2 < 0$，鞍点；
- 在 $(0,2b)$：$u_{xx}=0, u_{yy}=0, u_{xy}=-4ab$，$\Delta < 0$，鞍点；
- 在 $(2a,2b)$：$u_{xx}=0, u_{yy}=0, u_{xy}=4ab$，$\Delta < 0$，鞍点。
公式：$\Delta = u_{xx}u_{yy} - (u_{xy})^2$，若 $\Delta < 0$ 则为鞍点
提示：注意 $ab \neq 0$，所以 $a^2b^2 > 0$，$\Delta$ 恒负。
步骤 5/5
目标：判定驻点 (a,b) 的极值类型并求极值
在 $(a,b)$ 处：
$u_{xx} = -2(2b\cdot b - b^2) = -2b^2$，
$u_{yy} = -2(2a\cdot a - a^2) = -2a^2$，
$u_{xy} = (2a-2a)(2b-2b) = 0$，
$\Delta = (-2b^2)(-2a^2) - 0 = 4a^2b^2 > 0$。
由于 $u_{xx} = -2b^2 < 0$，故该点为极大值点。极大值为 $u(a,b) = (2a\cdot a - a^2)(2b\cdot b - b^2) = a^2 b^2$。
公式：$\Delta = 4a^2b^2 > 0$，$u_{xx} < 0$，极大值 $u = a^2b^2$
提示：注意 $u_{xx}$ 的符号：因为 $b \neq 0$，所以 $-2b^2 < 0$，确定为极大值。
步骤 6/7
目标：判断驻点 (a,b) 的类型并求极值
代入 $(a,b)$：
$u_{xx} = -2(2b \cdot b - b^2) = -2(2b^2 - b^2) = -2b^2$，
$u_{yy} = (2a \cdot a - a^2)(-2) = (2a^2 - a^2)(-2) = -2a^2$，
$u_{xy} = (2a - 2a)(2b - 2b) = 0$。
$\Delta = (-2b^2)(-2a^2) - 0 = 4a^2b^2 > 0$，且 $u_{xx} = -2b^2 < 0$，因此 $(a,b)$ 是极大值点。
极大值为 $u(a,b) = (2a^2 - a^2)(2b^2 - b^2) = a^2 \cdot b^2 = a^2b^2$。
公式：$\Delta = 4a^2b^2 > 0$, $u_{xx} = -2b^2 < 0$, 极大值 $u = a^2b^2$
提示：当 $\Delta > 0$ 且 $u_{xx} < 0$ 时，为极大值；若 $u_{xx} > 0$ 则为极小值。
步骤 7/7
目标：总结极值结论
函数 $u = (2ax - x^2)(2by - y^2)$ 有唯一极值点 $(a,b)$，且为极大值点，极大值为 $a^2b^2$。其余四个驻点 $(0,0), (2a,0), (0,2b), (2a,2b)$ 均为鞍点，无极小值。
公式：极大值 $u_{\text{max}} = a^2b^2$
提示：注意题目条件 $ab \neq 0$，确保极值非零。
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