北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, f$ 是问微姠数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将三重积分转化为球坐标形式
由于积分区域 $V: x^2+y^2+z^2 \le t^2$ 是球体，被积函数 $f(x^2+y^2+z^2)$ 仅依赖于径向距离，采用球坐标变换：
$x = r\sin\theta\cos\phi$，$y = r\sin\theta\sin\phi$，$z = r\cos\theta$，体积元 $dx\,dy\,dz = r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，且 $x^2+y^2+z^2 = r^2$。积分区域变为 $0 \le r \le t$，$0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \phi \le 2\pi$。于是
$$F(t) = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{t} f(r^2) \, r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi$$
公式：F(t)=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{t} f(r^2) r^2 \sin\theta \, dr\, d\theta\, d\phi
提示：注意球坐标变换中 $r^2\sin\theta$ 是雅可比行列式，不要遗漏 $\sin\theta$。
步骤 2/4
目标：分离角度积分并化简
角度部分与 $r$ 无关，可先积分：
$$\int_{0}^{2\pi} d\phi = 2\pi, \quad \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, d\theta = 2$$
两者相乘得 $4\pi$。因此三重积分简化为关于 $r$ 的一重积分：
$$F(t) = 4\pi \int_{0}^{t} f(r^2) \, r^2 \, dr$$
公式：F(t)=4\pi\int_{0}^{t} r^2 f(r^2)\,dr
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是单位球面的表面积，可记忆为球对称积分的常用因子。
步骤 3/4
目标：对参数 t 求导
令 $g(r)=r^2 f(r^2)$，则 $F(t)=4\pi \int_{0}^{t} g(r)\,dr$。由微积分基本定理，对上限 $t$ 求导得：
$$F'(t) = 4\pi \, g(t) = 4\pi \, t^2 f(t^2)$$
公式：F'(t)=4\pi t^2 f(t^2)
提示：注意被积函数中 $r$ 是积分变量，求导时直接将上限 $t$ 代入 $g(r)$，无需考虑链式法则。
步骤 4/4
目标：写出最终答案
因此，所求导数为：
$$F'(t) = 4\pi t^{2} f(t^{2})$$
此结果简洁地表达了球对称三重积分对半径参数的导数。
公式：\boxed{4\pi t^{2} f(t^{2})}
提示：最终答案中 $f(t^2)$ 的自变量是 $t^2$，不要误写为 $f(t)$。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
因此 $F'(t) = 4\pi t^2 f(t^2)$。
提示：最终结果中 $f(t^2)$ 的自变量是 $t^2$，不是 $t$。
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