北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ 。
三（15分）证明奇数次多项式
$$
P(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n+1}
$$
至少存在一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 都是常数，且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：改写求和形式，向定积分转化
将原式改写为：
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2}
\]
因为
\[
\frac{k}{n^3} \sqrt{n^2 - k^2} = \frac{k}{n^3} \cdot n \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \frac{k}{n^2} \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2} = \left(\frac{k}{n}\right) \sqrt{1 - \left(\frac{k}{n}\right)^2} \cdot \frac{1}{n}
\]
公式：\sum_{k=1}^{n} \left( \frac{k}{n} \right) \sqrt{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2} \cdot \frac{1}{n}
提示：注意提取因子时，要确保每一项都写成 (k/n) 和 1/n 的乘积形式，以便识别为黎曼和。
步骤 2/6
目标：识别为定积分形式
令 \(x_k = \frac{k}{n}\)，则 \(\Delta x = \frac{1}{n}\)，当 \(n \to \infty\) 时，该和式趋近于积分：
\[
\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx
\]
这里 \(k\) 从 1 到 \(n\)，对应 \(x\) 从 \(1/n\) 到 1，极限下不影响结果。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \frac{1}{n} = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：注意黎曼和的标准形式：被积函数为 \(x \sqrt{1-x^2}\)，积分区间为 [0,1]。
步骤 3/6
目标：计算定积分
令 \(u = 1 - x^2\)，则 \(du = -2x \, dx\)，即 \(x \, dx = -\frac{1}{2} du\)。
当 \(x=0\) 时 \(u=1\)，当 \(x=1\) 时 \(u=0\)，所以：
\[
\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_1^0 \sqrt{u} \left( -\frac{1}{2} \, du \right) = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{1/2} \, du
\]
计算得：
\[
\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
\]
公式：\int_0^1 x \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{3}
提示：换元时注意积分限的变化，以及负号的处理。
步骤 4/6
目标：得出第二题极限值
因此，原极限值为 \(\displaystyle \frac{1}{3}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}} = \frac{1}{3}
提示：最终结果要化简为最简分数。
步骤 5/6
目标：第三题：分析多项式在无穷远处的符号
设 \(P(x) = a_0 x^{2n+1} + a_1 x^{2n} + \cdots + a_{2n+1}\)，其中 \(a_0 \neq 0\)。
先考虑 \(a_0 > 0\) 的情形。
当 \(x \to +\infty\) 时，最高次项 \(a_0 x^{2n+1}\) 主导，且指数为奇数，故 \(P(x) \to +\infty\)。
当 \(x \to -\infty\) 时，\(x^{2n+1} \to -\infty\)，故 \(P(x) \to -\infty\)。
公式：\lim_{x \to +\infty} P(x) = +\infty, \quad \lim_{x \to -\infty} P(x) = -\infty \quad (a_0 > 0)
提示：注意奇数次幂在负无穷时的符号：负数的奇数次幂为负。
步骤 6/6
目标：应用介值定理证明存在实根
多项式函数 \(P(x)\) 在整个实数轴上连续。由上述极限可知，存在充分大的正数 \(M\) 使得 \(P(M) > 0\)，存在充分小的负数 \(-M\) 使得 \(P(-M) < 0\)。
由连续函数的介值定理，在区间 \([-M, M]\) 内至少存在一点 \(c\)，使得 \(P(c) = 0\)。
若 \(a_0 < 0\)，则 \(x \to +\infty\) 时 \(P(x) \to -\infty\)，\(x \to -\infty\) 时 \(P(x) \to +\infty\)，同理可得至少有一个实根。
公式：\exists c \in \mathbb{R}, \text{ 使得 } P(c) = 0
提示：介值定理要求函数连续且两端点函数值异号，这里通过极限保证存在这样的两点。
步骤 7/7
目标：总结第三题结论
因此，任意奇数次实系数多项式至少存在一个实根。证毕。
公式：\text{奇数次实系数多项式必有实根}
提示：该结论是代数基本定理的推论之一，但此处用初等方法即可证明。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。