北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在区问 $\displaystyle [-2,2]$ 上的最小值与最大值。
∴（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求函数在区间上的最值：求导数并找出临界点
给定函数 $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 6x - 1$，定义域为 $[-2, 2]$。首先求一阶导数：$f'(x) = -6x^2 + 6x + 6$。令导数为零：$-6x^2 + 6x + 6 = 0$，两边除以 $-6$ 得 $x^2 - x - 1 = 0$。解此二次方程：$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。数值近似为 $x_1 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.618$，$x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$，两者均在区间 $[-2, 2]$ 内。
公式：$f'(x) = -6x^2 + 6x + 6$，临界点 $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$
提示：注意二次方程求解时不要遗漏符号，且需验证临界点是否在给定区间内。
步骤 2/5
目标：计算端点与临界点的函数值
计算各点的函数值：
- 端点 $x = -2$：$f(-2) = -2(-8) + 3(4) + 6(-2) - 1 = 16 + 12 - 12 - 1 = 15$。
- 端点 $x = 2$：$f(2) = -2(8) + 3(4) + 12 - 1 = -16 + 12 + 12 - 1 = 7$。
- 临界点 $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$：利用根的性质 $x^2 = x + 1$，计算 $x^3 = x \cdot x^2 = x(x+1) = x^2 + x = (x+1) + x = 2x + 1$。代入得 $f(x) = -2(2x+1) + 3(x+1) + 6x - 1 = (-4x - 2) + (3x + 3) + 6x - 1 = 5x$。故 $f\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = 5 \cdot \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2}$。
- 临界点 $x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$：同理得 $f(x) = 5x$，故 $f\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2}$。
公式：$f\left(\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5 \pm 5\sqrt{5}}{2}$
提示：利用二次方程的根的性质简化高次幂计算，避免直接展开的繁琐。
步骤 3/5
目标：比较各点函数值，确定最值
比较所有候选点的函数值：
- $f(-2) = 15$
- $f(2) = 7$
- $f\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5 - 5\sqrt{5}}{2} \approx -3.09$
- $f\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) = \frac{5 + 5\sqrt{5}}{2} \approx 8.09$
因此，最大值为 $15$（在 $x = -2$ 处取得），最小值为 $\frac{5 - 5\sqrt{5}}{2}$（在 $x = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 处取得）。
公式：最大值 $15$，最小值 $\frac{5 - 5\sqrt{5}}{2}$
提示：不要忽略端点值，最值可能出现在端点或临界点。
步骤 4/5
目标：求幂级数的和函数：确定收敛域
考虑幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$。使用比值审敛法：$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{n}{x^n} \right| = |x|$，故收敛半径 $R = 1$。检查端点：
- 当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，即调和级数，发散。
- 当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，即交错调和级数，收敛。
因此，收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：收敛半径 $R = 1$，收敛域 $[-1, 1)$
提示：端点需单独判断，比值审敛法仅适用于内部点。
步骤 5/5
目标：求和函数：通过逐项求导与积分
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，在收敛区间内部 $|x| < 1$ 逐项求导：$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = 1 + x + x^2 + \cdots = \frac{1}{1-x}$。然后从 $0$ 到 $x$ 积分：$S(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} \, dt = -\ln(1-x)$。注意 $S(0) = 0$ 满足初始条件。在端点 $x = -1$ 处，由连续性得 $S(-1) = -\ln(2)$，与交错调和级数的和一致。
公式：$S(x) = -\ln(1-x)$，$x \in [-1, 1)$
提示：逐项求导和积分仅在收敛区间内部有效，端点需单独验证连续性。
步骤 6/7
目标：求幂级数的收敛域
对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，收敛半径 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/(n+1)} = 1$。
当 $x=1$ 时，级数为调和级数 $\sum \frac{1}{n}$，发散；当 $x=-1$ 时，为交错调和级数 $\sum \frac{(-1)^n}{n}$，收敛。因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：$R = 1$，收敛域 $[-1, 1)$
提示：端点需单独判断，$x=1$ 发散，$x=-1$ 收敛。
步骤 7/7
目标：求和函数
设 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$，在 $|x| < 1$ 内逐项求导得 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$。积分得 $S(x) = -\ln(1-x) + C$。由 $S(0)=0$ 得 $C=0$。因此 $S(x) = -\ln(1-x)$，$x \in [-1, 1)$。
公式：$S(x) = -\ln(1-x), \quad -1 \le x < 1$
提示：逐项求导后需积分并利用初始条件确定常数，注意定义域。
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