北京工业大学 2015年数学分析第0题

给定曲线方程为 $(a_1 x + b_1 y + c_1)^2 + (a_2 x + b_2 y + c_2)^2 = 1$，且 $a_1 b_2 - a_2 b_1 \neq 0$。由于两个一次式线性无关，可设新变量 $u = a_1 x + b_1 y + c_1$，$v = a_2 x + b_2 y + c_2$，则方程化为 $u^2 + v^2 = 1$，表示 $uv$ 平面上的单位圆。

从 $(x,y)$ 到 $(u,v)$ 的变换是仿射变换：$\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$。线性部分矩阵 $M = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}$ 的行列式为 $\det M = a_1 b_2 - a_2 b_1$。雅可比行列式 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \det M$，其绝对值 $|\det M|$ 表示面积缩放因子。

设原曲线所围区域在 $xy$ 平面上的面积为 $A$，在 $uv$ 平面上的对应区域面积为 $A_{uv}$。由面积变换公式：$A_{uv} = |\det M| \cdot A$，因此 $A = \frac{A_{uv}}{|\det M|}$。

在 $uv$ 平面上，方程 $u^2 + v^2 = 1$ 表示半径为 1 的圆，其围成的区域面积为 $A_{uv} = \pi \cdot 1^2 = \pi$。

将 $A_{uv} = \pi$ 代入面积关系式，得到原曲线所围区域面积为 $A = \frac{\pi}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$。

根据二重积分的变量替换公式，原区域面积 $S_{xy} = \iint_{D_{xy}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D_{uv}} \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u\mathrm{d}v$。由于雅可比行列式的倒数关系，$\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$。因此 $S_{xy} = \frac{1}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|} \cdot S_{uv} = \frac{\pi}{|a_1 b_2 - a_2 b_1|}$。