北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{c} x y^{2} d y-x^{2} y d x$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ ，取正向。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别积分类型并应用格林定理
给定闭曲线积分 $\oint_C xy^2 \, dy - x^2y \, dx$，其中 $C$ 是圆周 $x^2+y^2=a^2$，取正向（逆时针）。由于曲线封闭，考虑使用格林定理：
$$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy$$
将原积分改写为标准形式，得 $P = -x^2y$，$Q = xy^2$。
公式：格林定理：$\oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy$
提示：注意原积分中 $dy$ 和 $dx$ 的系数，正确对应 $P$ 和 $Q$，$P$ 是 $dx$ 的系数，$Q$ 是 $dy$ 的系数。
步骤 2/6
目标：计算偏导数差
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy^2) = y^2$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y) = -x^2$$
因此，
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y^2 - (-x^2) = x^2 + y^2$$
公式：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = x^2 + y^2$
提示：求偏导时，将另一个变量视为常数，注意符号。
步骤 3/6
目标：将曲线积分转化为二重积分
由格林定理，原积分等于二重积分：
$$\oint_C xy^2 \, dy - x^2y \, dx = \iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$$
其中 $D$ 是圆盘 $x^2 + y^2 \le a^2$。
公式：$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$
提示：注意积分区域 $D$ 是曲线 $C$ 所围成的内部区域。
步骤 4/6
目标：使用极坐标变换计算二重积分
在极坐标下，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$x^2 + y^2 = r^2$，面积元 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$。积分区域 $D$ 对应 $0 \le r \le a$，$0 \le \theta \le 2\pi$。于是：
$$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{a} r^2 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a r^3 \, dr$$
公式：$\iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^a f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta$
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式 $r$。
步骤 5/6
目标：计算积分结果
先计算 $r$ 积分：
$$\int_0^a r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^a = \frac{a^4}{4}$$
再计算 $\theta$ 积分：
$$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$
相乘得：
$$2\pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{\pi a^4}{2}$$
公式：$\int_0^a r^3 \, dr = \frac{a^4}{4}$，$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$
提示：注意积分上下限和幂次运算，$r^3$ 的原函数是 $r^4/4$。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，原曲线积分的值为：
$$\oint_C xy^2 \, dy - x^2y \, dx = \frac{\pi a^4}{2}$$
公式：$\frac{\pi a^4}{2}$
提示：最终结果应化简，并注意单位（本题无单位）。
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