北京工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle b \in R$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ ，则向数 $\displaystyle f(x)$ 位 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和目标
已知：
1. \( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上连续。
2. 存在实数 \( b \)，使得 \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = b\)。
要证明：\( f(x) \) 在 \([a, +\infty)\) 上一致连续。
一致连续的定义：对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对任意 \(x_1, x_2 \in [a, +\infty)\)，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1, x_2 \in [a, +\infty), |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：利用极限条件控制无穷远处的函数值变化
由极限定义：对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(M > a\)，使得当 \(x > M\) 时，\(|f(x) - b| < \frac{\varepsilon}{3}\)。
于是，对任意 \(x_1, x_2 > M\)，有
\[
|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x_1) - b| + |b - f(x_2)| < \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \frac{2\varepsilon}{3} < \varepsilon.
\]
这说明在区间 \((M, +\infty)\) 上，任意两点间的函数值差已小于 \(\varepsilon\)。
公式：\lim_{x \to +\infty} f(x) = b \Rightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists M > a, \forall x > M: |f(x) - b| < \frac{\varepsilon}{3}
提示：这里取 \(\varepsilon/3\) 是为了后续与闭区间部分整合时留有余地。
步骤 3/5
目标：处理有限闭区间部分，利用一致连续性定理
考虑闭区间 \([a, M+1]\)。由于 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上连续，故在 \([a, M+1]\) 上也连续。
由康托尔定理（闭区间上的连续函数必一致连续），存在 \(\delta_1 > 0\)，使得对任意 \(x_1, x_2 \in [a, M+1]\)，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta_1\)，就有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
公式：\exists \delta_1 > 0, \forall x_1, x_2 \in [a, M+1], |x_1 - x_2| < \delta_1 \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意区间取到 \(M+1\) 而不是 \(M\)，是为了覆盖可能跨越 \(M\) 的两点。
步骤 4/5
目标：整合两部分，得到整体一致的δ
取 \(\delta = \min\{\delta_1, 1\}\)。
现在验证：任取 \(x_1, x_2 \in [a, +\infty)\) 且 \(|x_1 - x_2| < \delta\)。
- 情况1：若两点都在 \([a, M+1]\) 中，则由闭区间的一致连续性，\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
- 情况2：若两点都在 \((M, +\infty)\) 中，则由极限控制，\(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
- 情况3：若一点在 \([a, M]\)，另一点在 \((M, +\infty)\)。由于 \(|x_1 - x_2| < \delta \leq 1\)，另一点必不超过 \(M+1\)，因此两点实际都在 \([a, M+1]\) 中，归入情况1。
综上，总有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
公式：\delta = \min\{\delta_1, 1\}
提示：取 \(\delta \leq 1\) 是为了保证跨越 \(M\) 的两点不会超出 \(M+1\) 的范围，从而被闭区间覆盖。
步骤 5/5
目标：得出结论
由定义，对任意 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta = \min\{\delta_1, 1\} > 0\)，使得对任意 \(x_1, x_2 \in [a, +\infty)\)，只要 \(|x_1 - x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\)。
因此，函数 \(f(x)\) 在 \([a, +\infty)\) 上一致连续。证毕。
公式：\text{结论：} f(x) \text{ 在 } [a, +\infty) \text{ 上一致连续}
提示：证明的关键是将无穷区间分解为有限闭区间和无穷远部分，分别处理后再整合。
步骤 6/6
目标：得出结论
由上述讨论，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta = \min\{\delta_1, 1\} > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a, +\infty)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。根据一致连续的定义，$f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续。
提示：证明的关键在于将无穷区间分割为有限闭区间和尾部区间，分别利用 Cantor 定理和极限性质。
步骤 7/7
目标：总结一致连续性
综上，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[a,+\infty)$，当 $|x_1-x_2|<\delta$ 时，有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。因此 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：注意 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，与点的位置无关，满足一致连续定义。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。