北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
一．求极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1}, a>1
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目结构
我们需要计算极限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1}, \quad a > 1
\]
其中求和项为 \(k^{a-1}\)，分母为 \(n^a\)。当 \(n\) 很大时，求和可近似为积分。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1}
提示：注意参数 \(a>1\) 保证积分收敛性，且幂函数单调递增。
步骤 2/5
目标：建立积分不等式
由于函数 \(f(x)=x^{a-1}\) 在 \([0,\infty)\) 上单调递增，有积分不等式：
\[
\int_{0}^{n} x^{a-1} \, dx \le \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} \le \int_{1}^{n+1} x^{a-1} \, dx
\]
左边从0到n积分，右边从1到n+1积分。
公式：\int_{0}^{n} x^{a-1} dx \le \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} \le \int_{1}^{n+1} x^{a-1} dx
提示：不等式方向由函数单调性决定，注意积分上下限的选取。
步骤 3/5
目标：计算积分表达式
计算左边积分：
\[
\int_{0}^{n} x^{a-1} dx = \frac{n^a}{a}
\]
计算右边积分：
\[
\int_{1}^{n+1} x^{a-1} dx = \frac{(n+1)^a - 1}{a}
\]
因此有：
\[
\frac{n^a}{a} \le \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} \le \frac{(n+1)^a - 1}{a}
\]
公式：\frac{n^a}{a} \le \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} \le \frac{(n+1)^a - 1}{a}
提示：积分计算时注意幂函数积分公式 \(\int x^{m} dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}\)。
步骤 4/5
目标：除以 \(n^a\) 并取极限
将不等式各项除以 \(n^a\)：
\[
\frac{1}{a} \le \frac{1}{n^a} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} \le \frac{(n+1)^a - 1}{a n^a}
\]
右边化简为：
\[
\frac{1}{a} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^a - \frac{1}{a n^a}
\]
当 \(n \to \infty\) 时，\(\left(1+\frac{1}{n}\right)^a \to 1\)，且 \(\frac{1}{a n^a} \to 0\)，所以右边极限为 \(\frac{1}{a}\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^a - 1}{a n^a} = \frac{1}{a}
提示：注意 \(a>1\) 保证 \(\frac{1}{n^a} \to 0\)，夹逼定理适用。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理得出结论
由夹逼定理，左右两边极限均为 \(\frac{1}{a}\)，因此原极限为：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1} = \frac{1}{a}
\]
公式：\boxed{\frac{1}{a}}
提示：夹逼定理要求不等式两端极限相等，此处成立。
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