北京工业大学 2021年数学分析第0题

已知函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处收敛，且每个 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调。需要证明该级数在 $[a,b]$ 上一致收敛。

对任意固定的 $n$，由于 $u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，其值介于端点值之间：若 $u_n$ 单调递增，则 $u_n(a) \le u_n(x) \le u_n(b)$；若单调递减，则 $u_n(b) \le u_n(x) \le u_n(a)$。因此对任意 $x \in [a,b]$，部分和 $\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x)$ 介于 $\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(a)$ 和 $\sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(b)$ 之间。

因为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(a)$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(b)$ 都收敛，由柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $n \ge N$ 时，对任意正整数 $p$，有 $$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(a) \right| < \varepsilon, \quad \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(b) \right| < \varepsilon. $$

由第二步的夹逼关系，对任意 $x \in [a,b]$，当 $n \ge N$ 时，有 $$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(x) \right| \le \max\left\{ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(a) \right|, \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} u_k(b) \right| \right\} < \varepsilon. $$ 这个上界与 $x$ 无关，因此级数满足一致收敛的柯西准则，从而在 $[a,b]$ 上一致收敛。

因此，在题设条件下，函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。

由第3步，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，使得当 $m > n \geq N$ 时，有 $|A| < \varepsilon$ 且 $|B| < \varepsilon$。于是由第5步，对任意 $x \in [a,b]$，有 \[ \left| \sum_{k=n+1}^{m} u_k(x) \right| \leq \max\{|A|, |B|\} < \varepsilon. \] 这个 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，与 $x$ 无关。根据柯西一致收敛准则，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛。