北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
三．函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b], t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}=1, t_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得
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f(\xi)=t_{1} f\left(x_{1}\right)+t_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+t_{n} f\left(x_{n}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定函数在闭区间上的最值
由于函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必能取到最大值和最小值。设 $m = \min_{x \in [a,b]} f(x)$，$M = \max_{x \in [a,b]} f(x)$。
公式：m = \min_{x \in [a,b]} f(x), \quad M = \max_{x \in [a,b]} f(x)
提示：注意闭区间上连续函数的最值存在性定理是本题的基础，需确认区间是闭的且函数连续。
步骤 2/4
目标：对每个函数值进行最值夹逼
对于任意给定的 $x_i \in [a,b]$，由最值的定义，有 $m \leq f(x_i) \leq M$，其中 $i = 1,2,\dots,n$。
公式：m \leq f(x_i) \leq M, \quad i=1,2,\dots,n
提示：这一步是简单的比较，但要注意每个 $f(x_i)$ 都在 $m$ 和 $M$ 之间。
步骤 3/4
目标：利用权重和为正且和为1，推导加权平均的上下界
由于 $t_i > 0$ 且 $\sum_{i=1}^n t_i = 1$，将不等式 $m \leq f(x_i) \leq M$ 两边乘以 $t_i$ 并求和：
$$
m \cdot \sum_{i=1}^n t_i \leq \sum_{i=1}^n t_i f(x_i) \leq M \cdot \sum_{i=1}^n t_i.
$$
因为 $\sum_{i=1}^n t_i = 1$，所以
$$
m \leq \sum_{i=1}^n t_i f(x_i) \leq M.
$$
公式：m \leq \sum_{i=1}^n t_i f(x_i) \leq M
提示：注意 $t_i>0$ 保证了不等号方向不变，若 $t_i$ 可为零则需要单独处理，但题目已明确 $t_i>0$。
步骤 4/4
目标：应用介值定理得到结论
由连续函数的介值定理（若函数在闭区间上连续，则它能取到介于最小值与最大值之间的任何值），因为 $\sum_{i=1}^n t_i f(x_i)$ 介于 $m$ 和 $M$ 之间，所以存在 $\xi \in [a,b]$，使得
$$
f(\xi) = \sum_{i=1}^n t_i f(x_i).
$$
公式：f(\xi) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2) + \cdots + t_n f(x_n)
提示：介值定理要求函数连续且闭区间，这里 $m$ 和 $M$ 是确界，但介值定理中通常使用最小值与最大值，由于连续函数的最值可达，故可直接使用。
步骤 5/5
目标：应用介值定理得出结论
由介值定理（连续函数在闭区间上可以取到介于最小值与最大值之间的任何值），因为 $\sum_{i=1}^n t_i f(x_i)$ 是介于 $m$ 和 $M$ 之间的一个实数，所以存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得 $f(\xi) = \sum_{i=1}^n t_i f(x_i)$。
公式：\exists \xi \in [a, b], \text{使得 } f(\xi) = \sum_{i=1}^n t_i f(x_i)
提示：介值定理要求函数连续且区间闭，这里 $m$ 和 $M$ 可能相等（常函数），此时结论仍然成立。
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