北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
九．证明：
$$
\frac{61}{165} \pi \leq \iint_{D} \sin \sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \leq \frac{2}{5} \pi
$$
其中 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将二重积分化为极坐标形式
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，则 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，积分区域 $D: 0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le 2\pi$。原积分化为：
$$I = \iint_D \sin\sqrt{(x^2+y^2)^3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\int_0^1 \sin(r^3)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = 2\pi \int_0^1 r\sin(r^3)\,\mathrm{d}r.$$
公式：$\iint_D f(x,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\int_0^1 f(r\cos\theta, r\sin\theta)\, r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意极坐标变换中面积元要乘以 $r$，且 $\sqrt{(x^2+y^2)^3} = r^3$。
步骤 2/5
目标：通过变量替换简化积分
令 $t = r^3$，则 $r = t^{1/3}$，$\mathrm{d}r = \frac{1}{3}t^{-2/3}\mathrm{d}t$。于是 $r\mathrm{d}r = t^{1/3}\cdot\frac{1}{3}t^{-2/3}\mathrm{d}t = \frac{1}{3}t^{-1/3}\mathrm{d}t$。积分限：$r=0$ 时 $t=0$，$r=1$ 时 $t=1$。因此：
$$\int_0^1 r\sin(r^3)\,\mathrm{d}r = \int_0^1 \frac{1}{3}t^{-1/3}\sin t\,\mathrm{d}t.$$
原积分变为：
$$I = 2\pi \cdot \frac{1}{3}\int_0^1 t^{-1/3}\sin t\,\mathrm{d}t = \frac{2\pi}{3}\int_0^1 t^{-1/3}\sin t\,\mathrm{d}t.$$
公式：$\int_0^1 r\sin(r^3)\,\mathrm{d}r = \frac{1}{3}\int_0^1 t^{-1/3}\sin t\,\mathrm{d}t$
提示：换元时注意微分变换要准确，$\mathrm{d}r$ 与 $\mathrm{d}t$ 的关系不要遗漏系数。
步骤 3/5
目标：利用不等式放缩被积函数
对于 $t \in (0,1]$，由 $\sin t$ 的泰勒展开 $\sin t = t - \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} - \cdots$，且余项为正，可得不等式：
$$t - \frac{t^3}{6} \le \sin t \le t.$$
两边乘以 $t^{-1/3}$（正数）得：
$$t^{2/3} - \frac{1}{6}t^{8/3} \le t^{-1/3}\sin t \le t^{2/3}.$$
公式：$t - \frac{t^3}{6} \le \sin t \le t$ 对 $t \in [0,1]$ 成立
提示：这个不等式在 $t>0$ 时成立，注意 $t=0$ 时取等号，积分不影响。
步骤 4/5
目标：计算放缩后的积分上下界
令 $J = \int_0^1 t^{-1/3}\sin t\,\mathrm{d}t$，则：
上界：$J \le \int_0^1 t^{2/3}\,\mathrm{d}t = \left[\frac{3}{5}t^{5/3}\right]_0^1 = \frac{3}{5}$。
下界：$J \ge \int_0^1 \left(t^{2/3} - \frac{1}{6}t^{8/3}\right)\,\mathrm{d}t = \frac{3}{5} - \frac{1}{6}\cdot\frac{3}{11} = \frac{3}{5} - \frac{1}{22} = \frac{66}{110} - \frac{5}{110} = \frac{61}{110}$。
因此：
$$\frac{61}{110} \le J \le \frac{3}{5}.$$
公式：$\int_0^1 t^{\alpha}\,\mathrm{d}t = \frac{1}{\alpha+1}$ 当 $\alpha > -1$
提示：计算 $\int_0^1 t^{8/3}\,\mathrm{d}t$ 时注意指数为 $8/3$，原函数为 $\frac{3}{11}t^{11/3}$。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到原积分的不等式
原积分 $I = \frac{2\pi}{3} J$，因此：
$$\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{61}{110} \le I \le \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3}{5}.$$
左边化简：$\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{61}{110} = \frac{122\pi}{330} = \frac{61\pi}{165}$。
右边化简：$\frac{2\pi}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2\pi}{5}$。
最终得到：
$$\frac{61\pi}{165} \le \iint_D \sin\sqrt{(x^2+y^2)^3}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \le \frac{2\pi}{5}.$$
公式：$I = \frac{2\pi}{3}J$
提示：分数化简时注意约分，$122/330 = 61/165$。
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