北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
五．证明：函数 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}, a_{n} \neq 0, f^{k}(a) \geq 0,(k=0,1, \cdots, n)$ ，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上无零点．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与目标
已知 $f(x)=a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n$ 是 $n$ 次多项式，$a_n \neq 0$，且对 $k=0,1,\dots,n$ 有 $f^{(k)}(a) \ge 0$。需要证明 $f(x)$ 在区间 $(a,+\infty)$ 上无零点。
公式：f^{(k)}(a) \ge 0, \quad k=0,1,\dots,n
提示：注意 $a_n \neq 0$ 说明多项式非零，且 $f^{(0)}(a)=f(a)$。
步骤 2/6
目标：将多项式在 $x=a$ 处泰勒展开
由于 $f(x)$ 是 $n$ 次多项式，其泰勒展开精确成立且无余项：
$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$$
公式：f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k
提示：泰勒展开是处理多项式局部性质的有力工具，此处余项为零。
步骤 3/6
目标：分析 $x > a$ 时每一项的符号
当 $x > a$ 时，$(x-a)^k > 0$ 对所有 $k=0,1,\dots,n$ 成立。结合已知条件 $f^{(k)}(a) \ge 0$，可知展开式中的每一项都是非负的：
$$\frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \ge 0$$
公式：\frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \ge 0, \quad \forall x > a
提示：注意 $k=0$ 时 $(x-a)^0 = 1$，该项为 $f(a) \ge 0$。
步骤 4/6
目标：得出 $f(x) \ge 0$ 的初步结论
由于所有项非负，它们的和也非负，因此对任意 $x > a$ 有：
$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k \ge 0$$
公式：f(x) \ge 0, \quad \forall x > a
提示：目前只得到非负，还需排除等于零的情况。
步骤 5/6
目标：反证法证明 $f(x)$ 不可能为零
假设存在 $x_0 > a$ 使得 $f(x_0)=0$。由于所有项非负且和为零，每一项必须为零：
$$\frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x_0-a)^k = 0, \quad k=0,1,\dots,n$$
因为 $(x_0-a)^k > 0$，所以 $f^{(k)}(a)=0$ 对所有 $k$ 成立。这意味着多项式在 $a$ 处的所有导数均为零，从而多项式恒等于零多项式，即所有系数为零，特别地 $a_n=0$，与已知 $a_n \neq 0$ 矛盾。
公式：f^{(k)}(a)=0 \; (\forall k) \Rightarrow f(x) \equiv 0 \Rightarrow a_n=0
提示：非负项之和为零是推出每项为零的关键，这是实数性质。
步骤 6/6
目标：得出最终结论
反证法说明假设不成立，因此对任意 $x > a$ 有 $f(x) > 0$，即 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上无零点。
公式：f(x) > 0, \quad \forall x \in (a,+\infty)
提示：结论是严格大于零，而非仅非负。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。