北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
八．求函数
$$
f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+3 \ln z
$$
在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确目标与约束
我们要最大化函数 $f(x, y, z) = \ln x + 2\ln y + 3\ln z$，约束条件为球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$。由于对数函数的定义域要求 $x > 0, y > 0, z > 0$，因此我们只在第一卦限内考虑。
公式：f(x, y, z) = \ln x + 2\ln y + 3\ln z, \quad x^2 + y^2 + z^2 = 6
提示：注意对数函数的定义域，确保变量为正。
步骤 2/7
目标：构造拉格朗日函数
引入拉格朗日乘数 $\lambda$，构造拉格朗日函数：
$$\mathcal{L}(x, y, z, \lambda) = \ln x + 2\ln y + 3\ln z - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 6)$$
公式：\mathcal{L} = \ln x + 2\ln y + 3\ln z - \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 6)
提示：拉格朗日乘数法适用于等式约束下的极值问题。
步骤 3/7
目标：求偏导数并令其为零
分别对 $x, y, z$ 求偏导并令其为零：
对 $x$：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{1}{x} - 2\lambda x = 0 \Rightarrow 2\lambda x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{2\lambda}$
对 $y$：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \frac{2}{y} - 2\lambda y = 0 \Rightarrow 2\lambda y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = \frac{1}{\lambda}$
对 $z$：$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial z} = \frac{3}{z} - 2\lambda z = 0 \Rightarrow 2\lambda z^2 = 3 \Rightarrow z^2 = \frac{3}{2\lambda}$
公式：x^2 = \frac{1}{2\lambda}, \quad y^2 = \frac{1}{\lambda}, \quad z^2 = \frac{3}{2\lambda}
提示：求偏导时注意对数的导数公式，以及不要遗漏系数。
步骤 4/7
目标：代入约束条件求解 λ
将 $x^2, y^2, z^2$ 代入约束 $x^2 + y^2 + z^2 = 6$：
$$\frac{1}{2\lambda} + \frac{1}{\lambda} + \frac{3}{2\lambda} = 6$$
合并左边：$\frac{1+2+3}{2\lambda} = \frac{6}{2\lambda} = \frac{3}{\lambda}$，于是 $\frac{3}{\lambda} = 6$，解得 $\lambda = \frac{1}{2}$。
公式：\frac{3}{\lambda} = 6 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}
提示：通分时注意分母统一，避免计算错误。
步骤 5/7
目标：求出 x, y, z 的值
将 $\lambda = \frac{1}{2}$ 代入 $x^2, y^2, z^2$ 的表达式：
$$x^2 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1 \Rightarrow x = 1$$
$$y^2 = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \Rightarrow y = \sqrt{2}$$
$$z^2 = \frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3 \Rightarrow z = \sqrt{3}$$
由于定义域要求正数，取正值。
公式：x = 1, \quad y = \sqrt{2}, \quad z = \sqrt{3}
提示：注意开方后只取正根，因为对数定义域要求变量为正。
步骤 6/7
目标：计算最大值
将 $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3})$ 代入原函数：
$$f(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}) = \ln 1 + 2\ln\sqrt{2} + 3\ln\sqrt{3}$$
由于 $\ln 1 = 0$，$\ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2$，$\ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln 3$，得：
$$f = 2 \cdot \frac{1}{2}\ln 2 + 3 \cdot \frac{1}{2}\ln 3 = \ln 2 + \frac{3}{2}\ln 3$$
合并为：$\ln 2 + \ln 3^{3/2} = \ln(2 \cdot 3^{3/2}) = \ln(2 \cdot \sqrt{27}) = \ln(6\sqrt{3})$。
公式：f_{\max} = \ln(6\sqrt{3})
提示：利用对数性质化简，注意 $\ln\sqrt{a} = \frac{1}{2}\ln a$。
步骤 7/7
目标：结论与验证
该点是唯一在第一卦限内的驻点，且当 $x, y, z$ 趋近于0时，函数值趋于负无穷，因此该点为最大值点。
公式：\boxed{\ln(6\sqrt{3})}
提示：检查边界情况，确保极值点确实是最大值。
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