北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
六．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上满足：$\displaystyle x, y \in[0,1]$ ，且 $\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq|x-y|$ ，则
$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将积分拆分成小区间上的积分之和，并改写求和项为积分形式
将区间 $[0,1]$ 等分成 $n$ 份，每份长度为 $1/n$，分点为 $0 = \frac{0}{n} < \frac{1}{n} < \frac{2}{n} < \dots < \frac{n}{n}=1$。则积分可写为
\[
\int_0^1 f(x)\,dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x)\,dx.
\]
求和项可改写为
\[
\frac1n \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f\left(\frac{k}{n}\right) dx,
\]
因为每个小区间长度是 $1/n$，乘以 $1/n$ 等于在该区间上对常数 $f(k/n)$ 积分。
公式：\int_0^1 f(x)\,dx = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x)\,dx,\quad \frac1n \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} f\left(\frac{k}{n}\right) dx
提示：注意将离散求和转化为积分形式，便于后续利用积分不等式进行估计。
步骤 2/4
目标：在每个小区间上估计差值的绝对值，并利用Lipschitz条件放缩
在第 $k$ 个区间 $[(k-1)/n, k/n]$ 上，差值的绝对值为
\[
\left| \int_{(k-1)/n}^{k/n} f(x)\,dx - \int_{(k-1)/n}^{k/n} f\left(\frac{k}{n}\right) dx \right| = \left| \int_{(k-1)/n}^{k/n} \bigl( f(x) - f(k/n) \bigr) dx \right|.
\]
由绝对值不等式 $\left| \int_a^b g(x)\,dx \right| \le \int_a^b |g(x)|\,dx$，得
\[
\le \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| dx.
\]
利用已知条件 $|f(x)-f(y)| \le |x-y|$，取 $y = k/n$，且 $x$ 在区间内，有
\[
\left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \le \left| x - \frac{k}{n} \right|.
\]
于是
\[
\le \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| x - \frac{k}{n} \right| dx.
\]
公式：\left| \int_a^b g(x)\,dx \right| \le \int_a^b |g(x)|\,dx,\quad |f(x)-f(y)| \le |x-y|
提示：注意绝对值不等式的方向，以及Lipschitz条件中 $x$ 和 $y$ 的对应关系。
步骤 3/4
目标：计算小区间上的积分，得到每个小区间上的误差上界
在区间 $[(k-1)/n, k/n]$ 上，$k/n$ 是右端点，所以 $x - k/n \le 0$，绝对值化为
\[
\left| x - \frac{k}{n} \right| = \frac{k}{n} - x.
\]
积分
\[
\int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( \frac{k}{n} - x \right) dx = \left[ \frac{k}{n}x - \frac{x^2}{2} \right]_{(k-1)/n}^{k/n}.
\]
代入上限 $x = k/n$：
\[
\frac{k}{n}\cdot\frac{k}{n} - \frac{(k/n)^2}{2} = \frac{k^2}{n^2} - \frac{k^2}{2n^2} = \frac{k^2}{2n^2}.
\]
代入下限 $x = (k-1)/n$：
\[
\frac{k}{n}\cdot\frac{k-1}{n} - \frac{(k-1)^2}{2n^2} = \frac{k(k-1)}{n^2} - \frac{(k-1)^2}{2n^2}.
\]
相减得
\[
\frac{k^2}{2n^2} - \frac{k(k-1)}{n^2} + \frac{(k-1)^2}{2n^2} = \frac{k^2 - 2k(k-1) + (k-1)^2}{2n^2} = \frac{1}{2n^2}.
\]
因此每个小区间上的差不超过 $1/(2n^2)$。
公式：\int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( \frac{k}{n} - x \right) dx = \frac{1}{2n^2}
提示：计算定积分时注意符号和代数化简，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：对所有小区间求和，得到总误差上界
总共有 $n$ 个小区间，因此
\[
\left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{2n^2} = n \cdot \frac{1}{2n^2} = \frac{1}{2n}.
\]
由于 $\frac{1}{2n} \le \frac{1}{n}$ 对正整数 $n$ 成立，所以原不等式得证。
公式：\left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \le \frac{1}{2n} \le \frac{1}{n}
提示：求和时注意每个小区间的贡献相同，最终结果比题目要求更强。
步骤 5/6
目标：求和得到最终结果
将 $n$ 个小区间的估计求和：$\sum_{k=1}^n \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right| dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}$。因此原不等式成立。
公式：\sum_{k=1}^n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}
提示：求和时注意 $n$ 个 $1/n^2$ 相加得到 $1/n$，这是关键步骤。
步骤 6/6
目标：得出结论
我们证明了：$\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n}$。
公式：\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leq \frac{1}{n}
提示：结论成立，注意等号可能取到，例如 $f(x)=x$ 时。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。