北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
十．计算
$$
\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x, b>a>0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数
注意到 \(\ln\frac{1}{x} = -\ln x\)，因此 \(\sin\left(\ln\frac{1}{x}\right) = \sin(-\ln x) = -\sin(\ln x)\)。原积分化为：
\[
I = \int_0^1 \frac{x^b - x^a}{\ln x} \bigl(-\sin(\ln x)\bigr) \, dx = -\int_0^1 \frac{x^b - x^a}{\ln x} \sin(\ln x) \, dx
\]
公式：\sin(-\theta) = -\sin\theta
提示：注意符号变化，避免遗漏负号。
步骤 2/5
目标：利用积分公式处理分子差
利用恒等式 \(x^b - x^a = \int_a^b x^t \ln x \, dt\)，因为 \(\frac{d}{dt} x^t = x^t \ln x\)。于是：
\[
\frac{x^b - x^a}{\ln x} = \int_a^b x^t \, dt
\]
代入积分并交换积分次序：
\[
I = -\int_0^1 \left( \int_a^b x^t \, dt \right) \sin(\ln x) \, dx = -\int_a^b \left( \int_0^1 x^t \sin(\ln x) \, dx \right) dt
\]
公式：x^b - x^a = \int_a^b x^t \ln x \, dt
提示：交换积分次序时需确认积分区域为矩形且被积函数连续，此处满足条件。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
计算 \(\int_0^1 x^t \sin(\ln x) \, dx\)。令 \(x = e^{-u}\)，则 \(dx = -e^{-u} du\)，当 \(x:0\to1\) 时 \(u:\infty\to0\)，\(\sin(\ln x) = \sin(-u) = -\sin u\)，\(x^t = e^{-tu}\)。于是：
\[
\int_0^1 x^t \sin(\ln x) \, dx = \int_\infty^0 e^{-tu} (-\sin u)(-e^{-u}) du = -\int_0^\infty e^{-(t+1)u} \sin u \, du
\]
利用拉普拉斯变换公式 \(\int_0^\infty e^{-su} \sin u \, du = \frac{1}{s^2+1}\)（\(s>0\)），得：
\[
\int_0^1 x^t \sin(\ln x) \, dx = -\frac{1}{(t+1)^2+1}
\]
公式：\int_0^\infty e^{-su} \sin u \, du = \frac{1}{s^2+1}
提示：换元时注意积分限的变化和符号处理，拉普拉斯公式需验证参数为正。
步骤 4/5
目标：代入并化简外层积分
将内层积分结果代入：
\[
I = -\int_a^b \left( -\frac{1}{(t+1)^2+1} \right) dt = \int_a^b \frac{1}{(t+1)^2+1} \, dt
\]
公式：I = \int_a^b \frac{1}{(t+1)^2+1} \, dt
提示：注意负号抵消，得到简单的积分形式。
步骤 5/5
目标：计算定积分得到最终结果
计算 \(\int \frac{1}{(t+1)^2+1} \, dt = \arctan(t+1) + C\)，因此：
\[
I = \left[ \arctan(t+1) \right]_{t=a}^{t=b} = \arctan(b+1) - \arctan(a+1)
\]
公式：\int \frac{1}{u^2+1} \, du = \arctan u + C
提示：代入上下限时注意变量替换，结果可进一步化简为 \(\arctan\frac{b-a}{1+(a+1)(b+1)}\) 等形式，但保留差值即可。
步骤 6/6
目标：简化最终结果
计算得：
$$I = \arctan(b+1) - \arctan(a+1).$$
利用反正切差公式 $\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$（$uv > -1$），这里 $u = b+1$，$v = a+1$，$uv > 0$，故：
$$I = \arctan\frac{(b+1)-(a+1)}{1+(b+1)(a+1)} = \arctan\frac{b-a}{1+(a+1)(b+1)}.$$
公式：$$\arctan u - \arctan v = \arctan\frac{u-v}{1+uv}$$
提示：由于 $b>a>0$，分子分母均为正，结果在 $(0, \pi/2)$ 内，无需调整。
步骤 7/8
目标：计算关于 \(t\) 的积分
利用反正切积分公式 \(\int \frac{1}{(t+1)^2+1} \, dt = \arctan(t+1) + C\)，得
\[
I = \left[ \arctan(t+1) \right]_{t=a}^{t=b} = \arctan(b+1) - \arctan(a+1).
\]
公式：\int \frac{1}{(t+1)^2+1} \, dt = \arctan(t+1) + C
提示：积分结果是反正切函数，注意代入上下限时顺序。
步骤 8/8
目标：给出最终结果
因此原积分的值为
\[
\boxed{\arctan(b+1) - \arctan(a+1)}.
\]
公式：\arctan(b+1) - \arctan(a+1)
提示：最终结果简洁，与参数 \(a,b\) 的大小关系一致。
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