北京工业大学 2021年数学分析第0题
📝 题目
四．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，$\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，则
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f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(1)-f(0)]
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析待证等式，确定证明方向
要证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi) = 2\xi [f(1)-f(0)]$。这类似于中值定理的形式，可考虑构造辅助函数，利用罗尔定理。将等式改写为 $f'(\xi) - 2\xi [f(1)-f(0)] = 0$，提示我们构造一个函数，其导数为该表达式。
公式：$f'(\xi) - 2\xi [f(1)-f(0)] = 0$
提示：注意题目仅给出 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，未涉及二阶导数，因此构造的辅助函数应仅依赖于 $f$ 本身及其一阶导数。
步骤 2/5
目标：构造辅助函数
设辅助函数 $F(x) = f(x) - [f(1)-f(0)] x^2$。则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导（因为 $f$ 可导，$x^2$ 可导），且求导得 $F'(x) = f'(x) - 2x [f(1)-f(0)]$。这正是我们需要的表达式。
公式：$F(x) = f(x) - [f(1)-f(0)] x^2$，$F'(x) = f'(x) - 2x [f(1)-f(0)]$
提示：构造辅助函数时，通常将待证等式右边项视为某函数的导数，通过积分或观察得到。此处 $2\xi [f(1)-f(0)]$ 是 $[f(1)-f(0)]x^2$ 的导数。
步骤 3/5
目标：验证辅助函数在端点处的函数值相等
计算 $F(0) = f(0) - [f(1)-f(0)] \cdot 0^2 = f(0)$。计算 $F(1) = f(1) - [f(1)-f(0)] \cdot 1^2 = f(1) - f(1) + f(0) = f(0)$。因此 $F(0) = F(1)$。
公式：$F(0) = f(0)$，$F(1) = f(0)$，故 $F(0) = F(1)$
提示：端点值相等是应用罗尔定理的关键条件，计算时要仔细，避免符号错误。
步骤 4/5
目标：应用罗尔定理得出结论
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $F(0)=F(1)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F'(\xi)=0$。即 $f'(\xi) - 2\xi [f(1)-f(0)] = 0$，整理得 $f'(\xi) = 2\xi [f(1)-f(0)]$。证毕。
公式：$F'(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi) = 2\xi [f(1)-f(0)]$
提示：罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，此处 $F$ 由可导函数 $f$ 和多项式构成，满足条件。
步骤 5/5
目标：总结证明思路
本证明的核心是构造辅助函数 $F(x)=f(x)-[f(1)-f(0)]x^2$，利用 $F(0)=F(1)$ 的条件，通过罗尔定理得到存在 $\xi$ 使 $F'(\xi)=0$，从而导出待证等式。该方法避免了使用拉格朗日中值定理的直接形式，体现了构造法的灵活性。
公式：无新公式
提示：类似问题中，若待证等式含有 $f(1)-f(0)$ 和 $\xi$ 的幂次，常可构造形如 $f(x)-kx^n$ 的辅助函数。
步骤 6/6
目标：将导数为零转化为所需结论
由 $F'(\xi)=0$ 得 $f'(\xi) - 2\xi[f(1)-f(0)] = 0$，即 $f'(\xi) = 2\xi[f(1)-f(0)]$。证毕。
公式：$f'(\xi) = 2\xi[f(1)-f(0)]$
提示：注意不要遗漏 $\xi$ 的范围 $(0,1)$。
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