北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）用数列极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$（ $A$ 为实数或 $\displaystyle A=+\infty$ ），则
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=A
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确题目要求，分情况讨论
题目要求用数列极限的定义证明：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = A$（$A$ 为实数或 $+\infty$），则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = A$。需分两种情况：$A$ 为有限实数，$A = +\infty$。
提示：注意 $A$ 为 $+\infty$ 时，极限定义使用 $M$-$N$ 语言。
步骤 2/7
目标：情况一：A为有限实数，利用ε-N定义进行变形
已知 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists N_1 \in \mathbb{N}$，当 $n > N_1$ 时，$|a_n - A| < \varepsilon$。要证 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists N$，当 $n > N$ 时，$\left| \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} - A \right| < \varepsilon$。变形得：
$$\left| \frac{S_n}{n} - A \right| = \left| \frac{(a_1 - A) + \cdots + (a_n - A)}{n} \right| \leq \frac{\sum_{k=1}^n |a_k - A|}{n}.$$
公式：$$\left| \frac{S_n}{n} - A \right| \leq \frac{\sum_{k=1}^n |a_k - A|}{n}$$
提示：将和式拆分为前N₁项和后n-N₁项，便于分别处理。
步骤 3/7
目标：情况一：拆分和式并估计后一部分
将和式拆分为前 $N_1$ 项与后 $n-N_1$ 项：
$$\frac{\sum_{k=1}^n |a_k - A|}{n} = \frac{\sum_{k=1}^{N_1} |a_k - A|}{n} + \frac{\sum_{k=N_1+1}^n |a_k - A|}{n}.$$
当 $n > N_1$ 时，后一部分中每个 $|a_k - A| < \varepsilon$，故
$$\frac{\sum_{k=N_1+1}^n |a_k - A|}{n} < \frac{(n - N_1)\varepsilon}{n} < \varepsilon.$$
公式：$$\frac{\sum_{k=N_1+1}^n |a_k - A|}{n} < \varepsilon$$
提示：注意 $(n-N_1)/n < 1$，因此后一部分严格小于ε。
步骤 4/7
目标：情况一：估计前一部分并选取N
记常数 $C = \sum_{k=1}^{N_1} |a_k - A|$，则前一部分为 $\frac{C}{n}$。只需 $\frac{C}{n} < \varepsilon$，即 $n > \frac{C}{\varepsilon}$。取 $N = \max\left(N_1, \left\lceil \frac{C}{\varepsilon} \right\rceil\right)$，当 $n > N$ 时，有
$$\left| \frac{S_n}{n} - A \right| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon.$$
由于 $\varepsilon$ 任意小，即证得极限为 $A$。
公式：$$N = \max\left(N_1, \left\lceil \frac{C}{\varepsilon} \right\rceil\right)$$
提示：若要求严格小于ε，可先取ε'=ε/2，则最终得ε。
步骤 5/7
目标：情况二：A=+∞，利用M-N定义
已知 $\forall M > 0$，$\exists N_1$，当 $n > N_1$ 时，$a_n > 3M$。要证 $\forall G > 0$，$\exists N$，当 $n > N$ 时，$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} > G$。将和式拆分为前 $N_1$ 项与后 $n-N_1$ 项：
$$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} = \frac{a_1 + \cdots + a_{N_1}}{n} + \frac{a_{N_1+1} + \cdots + a_n}{n}.$$
公式：$$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} = \frac{\sum_{k=1}^{N_1} a_k}{n} + \frac{\sum_{k=N_1+1}^n a_k}{n}$$
提示：取 $M = G$，并放大后一部分的下界。
步骤 6/7
目标：情况二：分别估计两部分
第一部分：存在 $N_2$，当 $n > N_2$ 时，$\frac{a_1 + \cdots + a_{N_1}}{n} > -G$（因为分子固定，分母趋于无穷，必大于任意负数）。第二部分：当 $n > N_1$ 时，每个 $a_k > 3G$，故
$$\frac{a_{N_1+1} + \cdots + a_n}{n} > \frac{(n - N_1) \cdot 3G}{n} > 2G \quad (n \text{足够大时}).$$
公式：$$\frac{a_{N_1+1} + \cdots + a_n}{n} > 2G$$
提示：取 $N = \max(N_1, N_2)$，确保两部分同时满足条件。
步骤 7/7
目标：情况二：合并得到结论
取 $N = \max(N_1, N_2)$，当 $n > N$ 时，有
$$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} > -G + 2G = G.$$
由 $G$ 的任意性，即证得 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} = +\infty$。
公式：$$\frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} > G$$
提示：注意 $a_n$ 趋于 $+\infty$ 时，前有限项不影响极限。
步骤 8/8
目标：总结
综合两种情况，由数列极限定义严格证明了：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = A$（$A$ 为实数或 $+\infty$），则算术平均值的极限也是 $A$。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = A.$$
提示：该结论称为Cauchy第一极限定理，是数列极限的重要性质，注意A为负无穷的情形可类似证明（取绝对值或对称处理）。
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