北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）计算
$$
I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲面与方向
曲面 $\Sigma$ 为上半球面 $z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$，其中 $x^2 + y^2 \le 1$。默认取上侧，即法向量指向 $z$ 轴正方向。被积表达式为 $x^3 \, dy \, dz + y^3 \, dz \, dx + z^3 \, dx \, dy$，这是一个第二类曲面积分。
公式：\Sigma: z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}, \quad x^2 + y^2 \le 1
提示：注意第二类曲面积分的方向性，方向不同会导致符号变化。
步骤 2/5
目标：补面构造封闭曲面，应用高斯公式
由于 $\Sigma$ 不封闭，补上底面 $\Sigma_1: z = 0, \, x^2 + y^2 \le 1$，取下侧，使得 $\Sigma \cup \Sigma_1$ 构成封闭曲面，方向为外侧。记封闭区域 $\Omega$ 为上半球体 $x^2 + y^2 + z^2 \le 1, \, z \ge 0$。由高斯公式：
\[
\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} x^3 \, dy \, dz + y^3 \, dz \, dx + z^3 \, dx \, dy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^3) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3) \right) dV
\]
公式：\iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} = \iiint_{\Omega} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV
提示：补面时注意方向：底面取下侧才能与上半球面的上侧构成外侧。
步骤 3/5
目标：计算三重积分
使用球坐标变换：$x = r \sin\theta \cos\phi$, $y = r \sin\theta \sin\phi$, $z = r \cos\theta$，体积元 $dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$，且 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2$。区域 $\Omega$ 对应 $0 \le r \le 1$, $0 \le \theta \le \pi/2$, $0 \le \phi \le 2\pi$。积分：
\[
\iiint_{\Omega} 3r^2 \, dV = 3 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta \int_0^1 r^4 \, dr = 3 \cdot 2\pi \cdot 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{6\pi}{5}
\]
公式：\int_0^1 r^4 \, dr = \frac{1}{5}, \quad \int_0^{\pi/2} \sin\theta \, d\theta = 1, \quad \int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi
提示：注意被积函数中的 $r^2$ 与体积元中的 $r^2$ 合并为 $r^4$，不要遗漏 $\sin\theta$。
步骤 4/5
目标：计算底面积分并相减
底面 $\Sigma_1: z = 0$，取下侧。由于 $z = 0$，有 $z^3 = 0$，故 $R \, dx \, dy = 0$；又因为底面水平，$dz = 0$，所以 $P \, dy \, dz$ 和 $Q \, dz \, dx$ 均为 0。因此底面积分为 0。于是：
\[
\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma \cup \Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{6\pi}{5} - 0 = \frac{6\pi}{5}
\]
公式：\iint_{\Sigma_1} = 0
提示：底面为平面 $z=0$ 时，$dz=0$ 导致含 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 的项自动为零，而 $z^3=0$ 使 $dx\,dy$ 项也为零。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
综合以上计算，原曲面积分的结果为：
\[
I = \frac{6\pi}{5}
\]
公式：\boxed{\frac{6\pi}{5}}
提示：检查方向是否一致，确保补面后的封闭曲面方向正确。
步骤 6/6
目标：得到上半球面的积分结果
由高斯公式：
\[ \iint_{\Sigma_1} + \iint_{\Sigma_2} = \frac{6\pi}{5} \]
而 \(\iint_{\Sigma_2} = 0\)，所以
\[ I = \iint_{\Sigma_1} = \frac{6\pi}{5} \]
公式：封闭曲面积分 = 上半球面积分 + 底面积分
提示：最终结果与方向一致，若上半球面取下侧则结果相反。
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