北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的命题，并假设反证条件
设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续。要证明 \( f \) 在 \([a, b]\) 上一致连续，即：
\[ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in [a, b], \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon. \]
采用反证法。假设 \( f \) 在 \([a, b]\) 上不一致连续，则存在某个 \(\varepsilon_0 > 0\)，使得对任意 \(\delta > 0\)，都能找到两点 \(x, y \in [a, b]\)，满足 \(|x - y| < \delta\) 但 \(|f(x) - f(y)| \ge \varepsilon_0\)。
公式：\exists \varepsilon_0 > 0, \ \forall \delta > 0, \ \exists x, y \in [a, b]: \ |x - y| < \delta \land |f(x) - f(y)| \ge \varepsilon_0
提示：注意反证假设的准确表述：不一致连续意味着存在一个固定的正数 ε₀，无论 δ 多小，都能找到距离小于 δ 但函数值差至少为 ε₀ 的两点。
步骤 2/6
目标：构造两个有界数列
特别地，对每个自然数 \(n\)，取 \(\delta = \frac{1}{n}\)，则存在两点 \(x_n, y_n \in [a, b]\)，使得
\[ |x_n - y_n| < \frac{1}{n}, \quad |f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0. \]
这样就得到了两个有界数列 \(\{x_n\}\) 和 \(\{y_n\}\)，它们都包含在闭区间 \([a, b]\) 内。
公式：|x_n - y_n| < \frac{1}{n}, \quad |f(x_n) - f(y_n)| \ge \varepsilon_0
提示：构造数列时，δ 取为 1/n 是常用技巧，这样当 n 增大时，两点距离趋于 0。
步骤 3/6
目标：应用致密性定理得到收敛子列
数列 \(\{x_n\}\) 有界（因为 \(x_n \in [a, b]\)），由致密性定理（Bolzano–Weierstrass 定理），存在一个收敛子列 \(\{x_{n_k}\}\)，设其极限为 \(x_0\)。由于 \([a, b]\) 是闭区间，故 \(x_0 \in [a, b]\)。
公式：\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x_0 \in [a, b]
提示：致密性定理只保证存在收敛子列，不保证原数列收敛，因此需要取子列。
步骤 4/6
目标：证明对应的子列也收敛到同一点
考虑对应的子列 \(\{y_{n_k}\}\)。利用三角不等式：
\[ |y_{n_k} - x_0| \le |y_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - x_0| < \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - x_0|. \]
当 \(k \to \infty\) 时，\(\frac{1}{n_k} \to 0\) 且 \(|x_{n_k} - x_0| \to 0\)，因此 \(y_{n_k} \to x_0\) 也成立。
公式：|y_{n_k} - x_0| < \frac{1}{n_k} + |x_{n_k} - x_0| \to 0
提示：这一步利用了构造中两点距离小于 1/n 的条件，以及子列收敛的性质。
步骤 5/6
目标：利用连续性导出矛盾
因为 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续，所以当 \(k \to \infty\) 时，
\[ f(x_{n_k}) \to f(x_0), \quad f(y_{n_k}) \to f(x_0). \]
于是
\[ |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \to 0. \]
但根据构造，对所有的 \(k\) 都有
\[ |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \ge \varepsilon_0 > 0, \]
这与极限为 0 矛盾。
公式：\lim_{k \to \infty} |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| = 0 \quad \text{但} \quad |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \ge \varepsilon_0 > 0
提示：连续性保证了函数值在收敛点附近趋于一致，而构造条件强制函数值差至少为 ε₀，两者矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，反证假设不成立，即 \(f\) 在 \([a, b]\) 上一致连续。证毕。
提示：反证法成功，原命题得证。
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