北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）计算
$$
I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}+k}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将通项改写为适合定积分定义的形式
将求和通项 $\frac{n}{n^2+k^2+k}$ 分子分母同时除以 $n^2$，得到：
$$
\frac{n}{n^2+k^2+k} = \frac{n}{n^2\left(1+\frac{k^2}{n^2}+\frac{k}{n^2}\right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{k}{n^2}}.
$$
公式：\frac{n}{n^2+k^2+k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{k}{n^2}}
提示：注意提取 $n^2$ 时，分子也要相应处理，确保出现 $\frac{1}{n}$ 因子。
步骤 2/6
目标：分析多余小项并建立不等式
令 $x_k = \frac{k}{n}$，则 $\frac{k}{n^2} = \frac{x_k}{n}$。由于 $0 < \frac{k}{n^2} \le \frac{1}{n}$，可得不等式：
$$
1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 \le 1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{k}{n^2} \le 1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2 + \frac{1}{n}.
$$
因此：
$$
\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2+1/n} \le \frac{n}{n^2+k^2+k} \le \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2}.
$$
公式：\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+(k/n)^2+1/n} \le \frac{n}{n^2+k^2+k} \le \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+(k/n)^2}
提示：利用 $0<\frac{k}{n^2}\le\frac{1}{n}$ 进行放缩，注意不等号方向。
步骤 3/6
目标：对左边和式取极限并转化为积分
左边和式为 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2+1/n}$。当 $n\to\infty$ 时，$\frac{1}{n}$ 的扰动不影响极限，该和式趋于黎曼和 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2}$ 的极限，即：
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2+1/n} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx.
$$
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2+1/n} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx
提示：这里需要用到一致连续性或夹逼准则说明 $\frac{1}{n}$ 项可忽略，严格证明时可用夹逼。
步骤 4/6
目标：对右边和式取极限并转化为积分
右边和式为 $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2}$，这是标准的黎曼和，对应函数 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ 在区间 $[0,1]$ 上的积分，因此：
$$
\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx.
$$
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx
提示：注意黎曼和的形式：$\frac{1}{n}\sum f(k/n)$ 极限为 $\int_0^1 f(x)dx$，这里 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。
步骤 5/6
目标：应用夹逼准则得到原极限
由第二步的不等式，对 $k=1$ 到 $n$ 求和得：
$$
\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2+1/n} \le \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2+k} \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+(k/n)^2}.
$$
当 $n\to\infty$ 时，左右两端极限均为 $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2}dx$，由夹逼准则得：
$$
I = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx.
$$
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2+k} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx
提示：夹逼准则要求左右极限相等，这里左右极限相同，故原极限等于该积分值。
步骤 6/6
目标：计算定积分得到最终结果
计算积分：
$$
\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x \Big|_0^1 = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}.
$$
因此原极限 $I = \frac{\pi}{4}$。
公式：\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}
提示：记住 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，$\arctan 0 = 0$。
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