北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
二．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)<f_{-}^{\prime}(b)$ ，证明：对 $\displaystyle \eta \in\left(f_{+}^{\prime}(a), f_{-}^{\prime}(b)\right)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\eta$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数，将问题转化为证明导函数零点存在
令 $g(x) = f(x) - \eta x$，则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $g'(x) = f'(x) - \eta$。我们的目标是证明存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=\eta$。
公式：g(x) = f(x) - \eta x, \quad g'(x) = f'(x) - \eta
提示：构造辅助函数是处理导数介值问题的常用技巧，注意将待证等式转化为导数为零的形式。
步骤 2/4
目标：利用已知条件分析端点处导数的符号
由题设 $f'_+(a) < \eta < f'_-(b)$，代入 $g$ 的导数得：
$$g'_+(a) = f'_+(a) - \eta < 0, \quad g'_-(b) = f'_-(b) - \eta > 0$$
公式：g'_+(a) < 0, \quad g'_-(b) > 0
提示：注意区分左导数和右导数，这里 $f'_+(a)$ 和 $f'_-(b)$ 分别表示在端点处的单侧导数。
步骤 3/4
目标：由端点导数符号推断函数在端点附近的变化趋势
由 $g'_+(a) < 0$ 及右导数定义，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时，$\frac{g(x)-g(a)}{x-a} < 0$，即 $g(x) < g(a)$，故 $a$ 不是最小值点。
由 $g'_-(b) > 0$ 及左导数定义，存在 $\delta_2 > 0$，使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时，$\frac{g(b)-g(x)}{b-x} > 0$，即 $g(b) > g(x)$，故 $b$ 也不是最小值点。
公式：\frac{g(x)-g(a)}{x-a} < 0 \Rightarrow g(x) < g(a); \quad \frac{g(b)-g(x)}{b-x} > 0 \Rightarrow g(b) > g(x)
提示：这里利用单侧导数的符号推断函数值的局部单调性，注意严格不等式才能保证存在邻域。
步骤 4/4
目标：应用连续函数极值定理和费马定理得出结论
$g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，故必存在最小值点。由第3步知，端点 $a$ 和 $b$ 均不是最小值点，因此最小值点必在开区间 $(a,b)$ 内部取得，记为 $\xi$。由于 $g$ 在 $\xi$ 处可导且取得极值（最小值），由费马定理得 $g'(\xi)=0$，即 $f'(\xi)=\eta$。
公式：g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \eta
提示：费马定理要求函数在极值点可导，这里 $f$ 在 $[a,b]$ 上可导保证了 $g$ 可导，因此适用。
步骤 5/6
目标：利用闭区间上连续函数的极值定理找到内部最小值点
函数 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续（因为可导必连续），因此 $g$ 在 $[a, b]$ 上必存在最小值点。由上一步知，$a$ 和 $b$ 都不是最小值点，故最小值点必在开区间 $(a, b)$ 内取得，记该点为 $\xi$。
公式：$\xi \in (a, b)$ 是 $g$ 的最小值点
提示：极值定理（最值定理）是连续函数的重要性质，注意端点被排除的条件。
步骤 6/6
目标：由费马引理得到导数为零，完成证明
由于 $\xi$ 是开区间 $(a, b)$ 内的最小值点，且 $g$ 在 $\xi$ 处可导（因为 $f$ 可导，$\eta x$ 可导），根据费马引理，必有 $g'(\xi) = 0$。代入 $g'(x) = f'(x) - \eta$，得 $f'(\xi) - \eta = 0$，即 $f'(\xi) = \eta$。证毕。
公式：$g'(\xi) = 0 \Rightarrow f'(\xi) = \eta$
提示：费马引理要求极值点在区间内部且函数可导，这里条件完全满足。
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