北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{\frac{-1}{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(0,0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数定义与问题要求
函数定义为：
\[
f(x,y) = \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\
0, & (x,y) = (0,0)
\end{cases}
\]
题目要求计算混合偏导数 \(f_{xy}''(0,0)\)，即先对 \(x\) 求偏导，再对 \(y\) 求偏导，最后在原点取值。
公式：f(x,y) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases}
提示：注意函数在原点处单独定义为0，这是分段函数处理偏导数的关键点。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 f_x(x,y) 在非原点处的表达式
当 \((x,y) \neq (0,0)\) 时，对 \(f(x,y) = e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}\) 关于 \(x\) 求偏导：
\[
f_x(x,y) = e^{-\frac{1}{x^2+y^2}} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{1}{x^2+y^2}\right) = e^{-\frac{1}{x^2+y^2}} \cdot \frac{2x}{(x^2+y^2)^2}
\]
因此：
\[
f_x(x,y) = \frac{2x}{(x^2+y^2)^2} e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}, \quad (x,y) \neq (0,0)
\]
公式：f_x(x,y) = \frac{2x}{(x^2+y^2)^2} e^{-\frac{1}{x^2+y^2}}
提示：复合函数求导时，注意指数函数的导数规则，分母部分不要遗漏平方。
步骤 3/5
目标：利用定义求 f_x(0,0)
由偏导定义：
\[
f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}
\]
当 \(h \neq 0\) 时，\(f(h,0) = e^{-1/h^2}\)，且 \(f(0,0)=0\)，所以：
\[
\frac{e^{-1/h^2} - 0}{h} = \frac{e^{-1/h^2}}{h}
\]
由于指数衰减 \(e^{-1/h^2}\) 比任何多项式 \(|h|^{-1}\) 衰减更快，故极限为 0。因此：
\[
f_x(0,0) = 0
\]
公式：f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{-1/h^2}}{h} = 0
提示：利用指数函数衰减速度远快于多项式这一性质判断极限，避免直接代入。
步骤 4/5
目标：求 f_x(0,y) 在 y ≠ 0 时的表达式
将 \(x=0\) 代入非原点处的 \(f_x(x,y)\) 表达式：
\[
f_x(0,y) = \frac{2 \cdot 0}{(0+y^2)^2} e^{-\frac{1}{0+y^2}} = 0, \quad y \neq 0
\]
结合上一步得到的 \(f_x(0,0)=0\)，可知函数 \(g(y) = f_x(0,y)\) 对所有实数 \(y\) 恒等于 0。
公式：f_x(0,y) = 0, \quad \forall y \in \mathbb{R}
提示：注意代入 x=0 后分子为零，整个表达式为零，无需再考虑指数部分。
步骤 5/5
目标：利用定义求混合偏导数 f_{xy}(0,0)
混合偏导 \(f_{xy}(0,0)\) 定义为 \(g(y) = f_x(0,y)\) 在 \(y=0\) 处的导数：
\[
f_{xy}(0,0) = \left. \frac{d}{dy} f_x(0,y) \right|_{y=0} = g'(0)
\]
由于 \(g(y) \equiv 0\) 对所有 \(y\) 成立，其导数恒为 0，特别地 \(g'(0)=0\)。因此：
\[
f_{xy}(0,0) = 0
\]
公式：f_{xy}(0,0) = \frac{d}{dy}\big|_{y=0} f_x(0,y) = 0
提示：混合偏导的计算顺序是先对 x 再对 y，这里利用 f_x(0,y) 恒为零简化了计算，无需再求复杂极限。
步骤 6/6
目标：检查对称性并总结
函数 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 对称，且指数函数光滑，但原点处各阶偏导需小心。由直接极限计算，结果明确为 $0$。
公式：无
提示：混合偏导的结果与顺序无关，这里计算得到0。
步骤 7/7
目标：总结答案
因此，混合偏导数 $f_{xy}''(0,0)=0$。
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