北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
八．（15分）计算
$$
I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan a x-\arctan b x}{x} \mathrm{~d} x(a \geq b>0)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分视为参数a和b的函数，并验证收敛性
设 $I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x} \, dx$，其中 $a \ge b > 0$。当 $x \to 0$ 时，$\arctan(ax) - \arctan(bx) \sim (a-b)x$，因此被积函数趋于常数 $a-b$，无奇点；当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan(ax), \arctan(bx) \to \frac{\pi}{2}$，分子趋于0，且分母为 $x$，积分收敛。
公式：I(a,b) = \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x} \, dx
提示：注意 $a \ge b > 0$ 保证积分在0处无奇点，在无穷远处衰减足够快。
步骤 2/5
目标：对参数a求导，将积分转化为简单形式
固定 $b$，对 $a$ 求导，交换积分与求导次序（由一致收敛性保证）：
$$\frac{\partial I}{\partial a} = \int_0^{+\infty} \frac{\partial}{\partial a} \left( \frac{\arctan(ax) - \arctan(bx)}{x} \right) dx = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + a^2 x^2} \, dx$$
公式：\frac{dI}{da} = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + a^2 x^2} \, dx
提示：求导时注意 $\frac{d}{da} \arctan(ax) = \frac{x}{1 + a^2 x^2}$，除以 $x$ 后恰好消去分母。
步骤 3/5
目标：计算关于x的积分，得到关于a的导数表达式
计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + a^2 x^2} \, dx$。令 $t = a x$，则 $dx = dt / a$，积分限不变：
$$\int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{a} = \frac{1}{a} \cdot \frac{\pi}{2}$$ 因此 $\frac{dI}{da} = \frac{\pi}{2a}$。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{1}{1 + a^2 x^2} \, dx = \frac{\pi}{2a}
提示：注意 $a>0$，换元后积分是标准反正切积分，结果为 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 4/5
目标：对a积分，并利用边界条件确定常数
对 $\frac{dI}{da} = \frac{\pi}{2a}$ 积分得 $I(a,b) = \frac{\pi}{2} \ln a + C(b)$，其中 $C(b)$ 是仅与 $b$ 有关的常数。令 $a = b$，此时分子为零，积分值为0：$I(b,b) = 0 = \frac{\pi}{2} \ln b + C(b)$，解得 $C(b) = -\frac{\pi}{2} \ln b$。
公式：I(a,b) = \frac{\pi}{2} \ln a + C(b), \quad C(b) = -\frac{\pi}{2} \ln b
提示：边界条件 $a=b$ 时积分值为0，这是确定常数的关键。
步骤 5/5
目标：写出最终结果
将常数代入得 $I(a,b) = \frac{\pi}{2} (\ln a - \ln b) = \frac{\pi}{2} \ln \frac{a}{b}$。
公式：I = \frac{\pi}{2} \ln \frac{a}{b}
提示：最终结果简洁，注意 $a \ge b > 0$ 保证对数有意义。
步骤 6/6
目标：给出最终答案
因此原积分的值为
\[
\boxed{\frac{\pi}{2} \ln\frac{a}{b}}.
\]
公式：I = \frac{\pi}{2} \ln\frac{a}{b}
提示：结果仅依赖于 \(a/b\)，与 \(a,b\) 的具体数值无关。
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