北京工业大学 2022年数学分析第0题

函数为 $z = xy + \frac{4}{x} + \frac{2}{y}$，由于分母含有 $x$ 和 $y$，定义域为 $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$。对 $x$ 求偏导（将 $y$ 视为常数）：$\frac{\partial z}{\partial x} = y - \frac{4}{x^2}$；对 $y$ 求偏导（将 $x$ 视为常数）：$\frac{\partial z}{\partial y} = x - \frac{2}{y^2}$。

令 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$，得到方程组： $y - \frac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow y = \frac{4}{x^2}$ $x - \frac{2}{y^2} = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{y^2}$

将 $y = \frac{4}{x^2}$ 代入 $x = \frac{2}{y^2}$，得 $x = \frac{2}{\left(\frac{4}{x^2}\right)^2} = \frac{2}{\frac{16}{x^4}} = \frac{2x^4}{16} = \frac{x^4}{8}$。整理得 $x = \frac{x^4}{8}$，即 $x^4 - 8x = 0$，因式分解为 $x(x^3 - 8) = 0$。由于 $x \neq 0$，故 $x^3 = 8$，解得 $x = 2$。代入 $y = \frac{4}{x^2}$ 得 $y = \frac{4}{4} = 1$。因此驻点为 $(2, 1)$。

计算二阶偏导数： $z_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(y - \frac{4}{x^2}\right) = \frac{8}{x^3}$ $z_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(x - \frac{2}{y^2}\right) = \frac{4}{y^3}$ $z_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(y - \frac{4}{x^2}\right) = 1$

在驻点 $(2, 1)$ 处： $A = z_{xx}(2,1) = \frac{8}{2^3} = \frac{8}{8} = 1$ $B = z_{xy}(2,1) = 1$ $C = z_{yy}(2,1) = \frac{4}{1^3} = 4$ 判别式 $\Delta = AC - B^2 = 1 \times 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3 > 0$，且 $A = 1 > 0$，因此该点为极小值点。

将驻点 $(2, 1)$ 代入原函数： $z(2,1) = 2 \times 1 + \frac{4}{2} + \frac{2}{1} = 2 + 2 + 2 = 6$。 因此函数在 $(2, 1)$ 处取得极小值 $6$。

将驻点 $(2, 1)$ 代入原函数： $$z(2, 1) = 2 \times 1 + \frac{4}{2} + \frac{2}{1} = 2 + 2 + 2 = 6.$$ 因此，函数在点 $(2, 1)$ 处取得极小值 $6$，无极大值。