北京工业大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于和函数 $\displaystyle S(x)$ ，证明： $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆一致连续的定义
函数 $g(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，只要 $|x - y| < \delta$，就有 $|g(x) - g(y)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in\mathbb{R}, |x-y|<\delta \Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与逐点连续的区别：一致连续的 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$。
步骤 2/5
目标：利用一致收敛的条件
因为 $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $S(x)$，所以对任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得对所有 $x \in \mathbb{R}$，都有 $\left| S(x) - \sum_{n=1}^N f_n(x) \right| < \varepsilon$。记部分和函数为 $S_N(x) = \sum_{n=1}^N f_n(x)$，则 $|S(x) - S_N(x)| < \varepsilon$ 对一切 $x \in \mathbb{R}$ 成立。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists N\in\mathbb{N}^*, \forall x\in\mathbb{R}: |S(x)-S_N(x)|<\varepsilon
提示：一致收敛的 $N$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于 $x$，这是后续估计的关键。
步骤 3/5
目标：利用有限个一致连续函数的和仍一致连续
每个 $f_n$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，有限个一致连续函数的和 $S_N(x) = f_1(x) + \cdots + f_N(x)$ 也是一致连续的。因此，对于上面选定的 $N$ 和任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得当 $|x-y|<\delta_1$ 时，有 $|S_N(x) - S_N(y)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \forall x,y\in\mathbb{R}, |x-y|<\delta_1 \Rightarrow |S_N(x)-S_N(y)|<\varepsilon
提示：有限个一致连续函数的和仍一致连续，但无限个不一定，这里利用了有限部分和。
步骤 4/5
目标：用三角不等式估计 $S(x)-S(y)$
对任意 $x, y \in \mathbb{R}$，由三角不等式：$|S(x)-S(y)| \le |S(x)-S_N(x)| + |S_N(x)-S_N(y)| + |S_N(y)-S(y)|$。由一致收敛性，前项和后项都小于 $\varepsilon$（对任意 $x,y$ 成立）。而中间项当 $|x-y|<\delta_1$ 时也小于 $\varepsilon$。所以当 $|x-y|<\delta_1$ 时，$|S(x)-S(y)| < 3\varepsilon$。
公式：|S(x)-S(y)| \le |S(x)-S_N(x)| + |S_N(x)-S_N(y)| + |S_N(y)-S(y)| < 3\varepsilon
提示：三角不等式是连接已知条件和待证结论的桥梁，注意每一项的估计条件是否同时成立。
步骤 5/5
目标：调整得到一致连续的定义形式
我们希望对任意 $\varepsilon_0 > 0$，能找到 $\delta$。取 $\varepsilon = \varepsilon_0 / 3$，则存在相应的 $N$ 和 $\delta_1$，使得当 $|x-y|<\delta_1$ 时，$|S(x)-S(y)| < 3 \cdot \frac{\varepsilon_0}{3} = \varepsilon_0$。这就证明 $S(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
公式：\forall \varepsilon_0>0, \exists \delta=\delta_1>0, \forall x,y\in\mathbb{R}, |x-y|<\delta \Rightarrow |S(x)-S(y)|<\varepsilon_0
提示：最终 $\delta$ 就是由 $\varepsilon_0/3$ 确定的 $\delta_1$，注意 $\varepsilon$ 的选取要使得 $3\varepsilon = \varepsilon_0$。
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