北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并取对数
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\cos\frac{1}{x} \to 1$，指数 $x^2 \to \infty$，这是 $1^\infty$ 型未定式。设 $L = \lim_{x \to \infty} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^2}$，取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to \infty} x^2 \ln\left(\cos\frac{1}{x}\right)$。
公式：\ln L = \lim_{x \to \infty} x^2 \ln\left(\cos\frac{1}{x}\right)
提示：注意 $1^\infty$ 型极限通常通过取对数转化为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型处理。
步骤 2/4
目标：变量替换简化表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$，代入得 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}$。
公式：\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}
提示：变量替换后注意极限方向，$t \to 0^+$ 不影响计算。
步骤 3/4
目标：利用等价无穷小化简分子
当 $t \to 0$ 时，$\cos t \sim 1 - \frac{t^2}{2}$，且 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），因此 $\ln(\cos t) \sim \ln\left(1 - \frac{t^2}{2}\right) \sim -\frac{t^2}{2}$。
公式：\ln(\cos t) \sim -\frac{t^2}{2} \quad (t \to 0)
提示：注意等价无穷小替换时，必须确保替换后的表达式与原式是等价无穷小，且分母为 $t^2$ 时分子需精确到 $t^2$ 阶。
步骤 4/4
目标：计算极限并还原
代入等价无穷小得 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{t^2}{2}}{t^2} = -\frac{1}{2}$，所以 $L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。
公式：\ln L = -\frac{1}{2}, \quad L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
提示：取对数后极限存在，直接还原即可，注意最终结果要写成最简形式。
步骤 5/5
目标：还原为原极限并写出最终结果
由 $\lim_{t \to 0} \ln y = -\frac{1}{2}$，得 $\lim_{t \to 0} y = e^{-1/2}$。换回变量 $x$，原极限为：
$$\lim_{x \to \infty} \left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{-\frac{1}{2}}.$$
公式：$$\boxed{e^{-\frac{1}{2}}}$$
提示：最后结果要写成指数形式，注意负号。
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