北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．已知函数 $u(x, y)$ 满足
$$
2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0
$$
求 $a, b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}$ 下，上述等式可化为函数 $v(x, y)$ 的不含一阶偏导数的等式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出变换关系并计算一阶偏导数
已知变换 $u(x, y) = v(x, y) e^{a x + b y}$，计算一阶偏导数：
$$u_x = v_x e^{a x + b y} + a v e^{a x + b y} = (v_x + a v) e^{a x + b y}$$
$$u_y = v_y e^{a x + b y} + b v e^{a x + b y} = (v_y + b v) e^{a x + b y}$$
公式：u_x = (v_x + a v) e^{a x + b y}, u_y = (v_y + b v) e^{a x + b y}
提示：注意指数函数求导时，要使用乘积法则，不要遗漏a v或b v项。
步骤 2/6
目标：计算二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$$u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}[(v_x + a v) e^{a x + b y}] = (v_{xx} + a v_x) e^{a x + b y} + a (v_x + a v) e^{a x + b y} = [v_{xx} + 2a v_x + a^2 v] e^{a x + b y}$$
$$u_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}[(v_y + b v) e^{a x + b y}] = (v_{yy} + b v_y) e^{a x + b y} + b (v_y + b v) e^{a x + b y} = [v_{yy} + 2b v_y + b^2 v] e^{a x + b y}$$
公式：u_{xx} = [v_{xx} + 2a v_x + a^2 v] e^{a x + b y}, u_{yy} = [v_{yy} + 2b v_y + b^2 v] e^{a x + b y}
提示：二阶导数的计算需要连续应用乘积法则，注意合并同类项时不要出错。
步骤 3/6
目标：代入原方程并化简
原方程为 $2 u_{xx} + 3 u_x + 3 u_y - 2 u_{yy} = 0$，代入上述表达式并约去公共因子 $e^{a x + b y}$（非零），得到：
$$2(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v) + 3(v_x + a v) + 3(v_y + b v) - 2(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v) = 0$$
公式：2(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v) + 3(v_x + a v) + 3(v_y + b v) - 2(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v) = 0
提示：约去指数因子时，要确保它不为零，这是合理的。
步骤 4/6
目标：整理各项，得到关于v的方程
按 $v_{xx}, v_{yy}, v_x, v_y, v$ 整理系数：
- $v_{xx}$ 项系数：$2$
- $v_{yy}$ 项系数：$-2$
- $v_x$ 项系数：$2 \cdot 2a + 3 = 4a + 3$
- $v_y$ 项系数：$-2 \cdot 2b + 3 = -4b + 3$
- $v$ 项系数：$2a^2 + 3a + 3b - 2b^2$
方程为：
$$2 v_{xx} - 2 v_{yy} + (4a + 3) v_x + (-4b + 3) v_y + (2a^2 + 3a + 3b - 2b^2) v = 0$$
公式：2 v_{xx} - 2 v_{yy} + (4a + 3) v_x + (-4b + 3) v_y + (2a^2 + 3a + 3b - 2b^2) v = 0
提示：整理系数时要细心，特别是v_y项来自-2u_{yy}，注意符号。
步骤 5/6
目标：令一阶偏导数系数为零，求解a和b
要使方程不含一阶偏导数项，令 $v_x$ 和 $v_y$ 的系数为零：
$$4a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac{3}{4}$$
$$-4b + 3 = 0 \Rightarrow b = \frac{3}{4}$$
公式：4a + 3 = 0, -4b + 3 = 0
提示：这是消去一阶项的关键步骤，注意两个方程独立，分别求解即可。
步骤 6/6
目标：验证常数项是否为零（可选）
将 $a = -\frac{3}{4}, b = \frac{3}{4}$ 代入常数项 $2a^2 + 3a + 3b - 2b^2$：
$$2 \cdot \frac{9}{16} + 3 \cdot (-\frac{3}{4}) + 3 \cdot \frac{3}{4} - 2 \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - \frac{9}{8} = 0$$
因此常数项也为零，方程简化为 $2 v_{xx} - 2 v_{yy} = 0$，即波动方程形式。
公式：2a^2 + 3a + 3b - 2b^2 = 0
提示：验证常数项可以确保变换后方程完全不含v项，但题目只要求消去一阶偏导数，此步非必需。
步骤 7/7
目标：给出最终答案
所以 $a = -\frac{3}{4}$，$b = \frac{3}{4}$。
提示：答案需明确写出。
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