北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将和式通项改写为适合定积分的形式
原极限为 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}}$。对每一项提取因子 $n$：
$$
\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n \sqrt{1 + (k/n)^2}}
$$
因此和式化为：
$$
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^2}}
$$
公式：\frac{1}{\sqrt{n^2 + k^2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^2}}
提示：注意提取 $n$ 时，分母中的 $n^2$ 开方后得到 $n$，不要遗漏因子 $1/n$。
步骤 2/4
目标：识别黎曼和并转化为定积分
令 $x_k = k/n$，小区间长度为 $\Delta x = 1/n$，则 $S_n$ 是函数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 在区间 $[0,1]$ 上的黎曼和。由定积分定义：
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx
$$
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx
提示：确认 $k$ 从 1 到 $n$，对应区间 $[0,1]$ 的右端点，黎曼和形式正确。
步骤 3/4
目标：计算定积分 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx$
该积分是基本积分公式：
$$
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C
$$
代入上下限：
$$
\left[ \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) \right]_0^1 = \ln(1 + \sqrt{2}) - \ln(1) = \ln(1 + \sqrt{2})
$$
公式：\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \, dx = \ln\left(x + \sqrt{1+x^2}\right) + C
提示：注意 $\ln(1)=0$，不要忘记下限的计算；该积分也可用双曲代换 $x = \sinh t$ 验证。
步骤 4/4
目标：得出极限结果
由以上推导，原极限等于：
$$
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right) = \ln(1 + \sqrt{2})
$$
公式：\boxed{\ln(1+\sqrt{2})}
提示：最终结果是一个简洁的对数形式，无需进一步化简。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
因此原极限为 $\ln(1+\sqrt{2})$。
公式：$\boxed{\ln(1+\sqrt{2})}$
提示：最终答案需用框线标出。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。