北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．设函数 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$ ，并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解已知条件并推导 f(0) 和 f'(0)
由极限条件 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$ 可知，当 $x \to 0$ 时，$f(x)$ 与 $x$ 是等价无穷小，因此 $f(0) = 0$。进一步，根据导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$。
公式：$f(0)=0,\quad f'(0)=1$
提示：注意极限存在且为有限值，分母趋于0，分子也必须趋于0，结合连续性得 $f(0)=0$。
步骤 2/5
目标：化简 g(x) 的表达式
对 $g(x) = \int_0^1 f(xt) \, dt$，令 $u = xt$，则当 $x \neq 0$ 时，$t = u/x$，$dt = du/x$，积分限变为 $u$ 从 $0$ 到 $x$，于是 $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du$。当 $x = 0$ 时，$g(0) = \int_0^1 f(0) \, dt = 0$。
公式：$g(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$
提示：变量替换时注意 $x=0$ 需单独处理，因为替换后分母出现 $x$。
步骤 3/5
目标：求 x ≠ 0 时 g'(x) 的表达式
当 $x \neq 0$ 时，对 $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du$ 求导，使用商的求导法则：$g'(x) = \frac{x f(x) - \int_0^x f(u) \, du}{x^2}$。
公式：$g'(x) = \frac{x f(x) - \int_0^x f(u) \, du}{x^2}, \quad x \neq 0$
提示：注意分子求导时，$\frac{d}{dx} \int_0^x f(u) \, du = f(x)$（微积分基本定理）。
步骤 4/5
目标：用定义求 g'(0)
由导数定义：$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \int_0^x f(u) \, du}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(u) \, du}{x^2}$。此为 $\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$。
公式：$g'(0) = \frac{1}{2}$
提示：洛必达法则使用前需验证分子分母趋于0，且导数存在。
步骤 5/5
目标：讨论 g'(x) 在 x=0 处的连续性
需要计算 $\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x f(x) - \int_0^x f(u) \, du}{x^2}$。由条件可设 $f(x) = x + x \varphi(x)$，其中 $\varphi(x) \to 0$（当 $x \to 0$）。则 $\int_0^x f(u) \, du = \frac{x^2}{2} + \int_0^x u \varphi(u) \, du$，且 $\int_0^x u \varphi(u) \, du = o(x^2)$。同时 $x f(x) = x^2 + x^2 \varphi(x)$。代入分子得 $x^2 + x^2 \varphi(x) - \frac{x^2}{2} - o(x^2) = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，除以 $x^2$ 得极限 $\frac{1}{2}$。因此 $\lim_{x \to 0} g'(x) = \frac{1}{2} = g'(0)$，故 $g'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x \to 0} g'(x) = \frac{1}{2} = g'(0)$
提示：避免直接使用 $f'(x)$ 的连续性，改用 $f(x)$ 的渐近展开更严谨。
步骤 6/6
目标：总结g'(x)的表达式
综上，$g'(x)=\begin{cases} \frac{f(x)}{x} - \frac{1}{x^2}\int_0^x f(u)du, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0 \end{cases}$，且 $g'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
提示：分段函数需明确各段表达式。
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