北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{r<10}[r] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},[r]$ 表示不超过 $r$ 的最大整数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解被积函数和积分区域
积分区域为球心在原点、半径10的球内部，即 $r<10$。被积函数 $[r]$ 是 $r$ 的整数部分，在 $r$ 的不同区间取常数值：当 $0 \le r < 1$ 时 $[r]=0$；当 $1 \le r < 2$ 时 $[r]=1$；……；当 $9 \le r < 10$ 时 $[r]=9$。注意 $r=10$ 不在区域内，因此最大整数部分为9。
公式：[r] = k, \quad k \le r < k+1, \; k=0,1,\dots,9
提示：注意区间端点：$r<10$ 不包含10，因此 $[r]$ 最大为9。
步骤 2/7
目标：将三重积分转化为球坐标下的累次积分
采用球坐标 $(r,\theta,\phi)$，其中 $x=r\sin\theta\cos\phi$，$y=r\sin\theta\sin\phi$，$z=r\cos\theta$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。积分区域：$0\le\phi<2\pi$，$0\le\theta\le\pi$，$0\le r<10$。于是积分化为
\[ I = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{10} [r]\, r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi \]
公式：\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi
提示：球坐标变换时不要漏掉 $r^2\sin\theta$ 因子。
步骤 3/7
目标：分离角度部分并计算角度积分
被积函数 $[r]r^2\sin\theta$ 中角度与径向可分离，先对角度积分：
\[ \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi,\quad \int_0^{\pi} \sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 2 \]
因此角度部分贡献因子 $4\pi$，积分简化为
\[ I = 4\pi \int_0^{10} [r]\, r^2\,\mathrm{d}r \]
公式：\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta = 4\pi
提示：角度积分结果 $4\pi$ 是球面积分常见结果，可记忆。
步骤 4/7
目标：将径向积分按整数区间分段
将区间 $[0,10)$ 按整数分段：
\[ \int_0^{10} [r] r^2\,\mathrm{d}r = \sum_{k=0}^{9} \int_k^{k+1} k\, r^2\,\mathrm{d}r \]
当 $k=0$ 时，被积函数为0，该项为0，因此实际求和从 $k=1$ 到 $9$。
公式：\int_k^{k+1} k\, r^2\,\mathrm{d}r = k\cdot\frac{(k+1)^3 - k^3}{3}
提示：注意 $k=0$ 的项贡献为0，可省略。
步骤 5/7
目标：计算每个分段积分并化简
计算每个分段积分：
\[ \int_k^{k+1} k\, r^2\,\mathrm{d}r = k\cdot\frac{(k+1)^3 - k^3}{3} \]
利用立方差公式 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$，得
\[ \frac{k(3k^2+3k+1)}{3} = k^3 + k^2 + \frac{k}{3} \]
公式：(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
提示：立方差公式可简化计算，避免直接展开。
步骤 6/7
目标：对 k=1 到 9 求和
需要计算
\[ \sum_{k=1}^{9} \left( k^3 + k^2 + \frac{k}{3} \right) = \sum_{k=1}^{9} k^3 + \sum_{k=1}^{9} k^2 + \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{9} k \]
分别求和：
- $\sum_{k=1}^{9} k^3 = \left(\frac{9\cdot10}{2}\right)^2 = 45^2 = 2025$
- $\sum_{k=1}^{9} k^2 = \frac{9\cdot10\cdot19}{6} = \frac{1710}{6} = 285$
- $\sum_{k=1}^{9} k = \frac{9\cdot10}{2} = 45$，则 $\frac{1}{3}\sum k = 15$
总和为 $2025 + 285 + 15 = 2325$。
公式：\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{k=1}^n k^3 = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2
提示：熟记自然数幂和公式，注意 $n=9$ 时计算准确。
步骤 7/7
目标：乘以角度因子得到最终结果
将径向积分结果乘以角度因子 $4\pi$：
\[ I = 4\pi \times 2325 = 9300\pi \]
公式：I = 4\pi \times 2325 = 9300\pi
提示：最终结果应化简为最简形式，注意 $\pi$ 保留。
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