北京科技大学 2023年数学分析第0题

假设函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a,b]\) 上无界。则对任意正整数 \( n \)，存在 \( x_n \in [a,b] \)，使得 \( |f(x_n)| > n \)。这样得到点列 \(\{x_n\} \subset [a,b]\)。

考虑集合 \( S = \{ x \in [a,b] \mid f \text{ 在 } [a,x] \text{ 上有界} \} \)。显然 \( a \in S \)，故 \( S \) 非空；又 \( S \subset [a,b] \)，故 \( S \) 有上界 \( b \)。由确界原理，\( S \) 有上确界，记 \( \xi = \sup S \)，且 \( a \le \xi \le b \)。

假设 \( \xi < b \)。由 \( f \) 在 \( x = \xi \) 处连续，存在 \( \delta > 0 \)，使得当 \( |x - \xi| < \delta \) 且 \( x \in [a,b] \) 时，\( |f(x) - f(\xi)| < 1 \)，从而 \( |f(x)| < |f(\xi)| + 1 \)，即 \( f \) 在 \((\xi - \delta, \xi + \delta) \cap [a,b]\) 上有界。因为 \( \xi = \sup S \)，取 \( \varepsilon = \delta \)，存在 \( x_0 \in S \) 使得 \( x_0 > \xi - \delta \)。由于 \( x_0 \in S \)，\( f \) 在 \([a, x_0]\) 上有界；又 \( f \) 在 \([\xi - \delta, \xi + \delta/2]\) 上有界，且 \( x_0 \) 与 \( \xi \) 的距离小于 \( \delta \)，故 \( f \) 在 \([a, \xi + \delta/2]\) 上有界，即 \( \xi + \delta/2 \in S \)，这与 \( \xi \) 是上确界矛盾。因此假设不成立，必有 \( \xi = b \)。

由于 \( \xi = b \)，对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( x \in S \) 使得 \( x > b - \varepsilon \)。取 \( \varepsilon \) 充分小，利用 \( f \) 在 \( x = b \) 处的连续性，类似上一步推理可得 \( f \) 在 \([a,b]\) 上有界，即 \( b \in S \)。因此 \( f \) 在 \([a,b]\) 上有界。

由第4步得到 \( f \) 在 \([a,b]\) 上有界，这与第1步的假设“\( f \) 在 \([a,b]\) 上无界”矛盾。故假设错误，原命题成立：定义在闭区间上的连续函数必然有界。