北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
九．（10 分）设 $\displaystyle F(x), G(x)$ 连续可微，且 $\displaystyle F(0)=F(4), G(0)=G(4)$ ．区域 $D$ 由 $\displaystyle y=x, y=4 x, x y=1, x y=4$围成，其边界 $\displaystyle \partial D$ 取逆时针方向．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\partial D} \frac{F(x y)}{x} \mathrm{~d} x+\frac{G(x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确积分与区域
曲线积分为 \( I = \oint_{\partial D} \frac{F(xy)}{x} \, dx + \frac{G(xy)}{y} \, dy \)，区域 \( D \) 由四条曲线围成：\( y = x \), \( y = 4x \), \( xy = 1 \), \( xy = 4 \)，边界取逆时针方向。
提示：注意边界方向为逆时针，这是应用格林定理的前提。
步骤 2/8
目标：应用格林定理
设 \( P(x,y) = \frac{F(xy)}{x} \), \( Q(x,y) = \frac{G(xy)}{y} \)，由格林定理：
\[ \oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy \]
公式：格林定理公式
提示：格林定理要求 \( P, Q \) 在区域内连续可微，这里满足条件。
步骤 3/8
目标：计算偏导数
令 \( u = xy \)，则 \( Q = \frac{G(u)}{y} \)，对 \( x \) 求偏导：
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot G'(u) \cdot y = G'(xy) \]
\( P = \frac{F(u)}{x} \)，对 \( y \) 求偏导：
\[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot F'(u) \cdot x = F'(xy) \]
因此被积函数为 \( G'(xy) - F'(xy) \)。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = G'(xy) - F'(xy)
提示：注意链式法则的应用，不要遗漏因子。
步骤 4/8
目标：化为二重积分
由格林定理得：
\[ I = \iint_D \left( G'(xy) - F'(xy) \right) dx\,dy \]
公式：I = \iint_D (G'(xy) - F'(xy)) \, dx\,dy
提示：此时积分区域仍为原区域 \( D \)，需要进一步变换。
步骤 5/8
目标：变量替换简化区域
令 \( u = xy \), \( v = \frac{y}{x} \)，则边界变换为：
\( y = x \Rightarrow v = 1 \)，\( y = 4x \Rightarrow v = 4 \)，\( xy = 1 \Rightarrow u = 1 \)，\( xy = 4 \Rightarrow u = 4 \)。
新区域为 \( u \in [1,4] \), \( v \in [1,4] \) 的矩形。
公式：u = xy, v = y/x
提示：选择合适的变量替换可将不规则区域变为矩形，简化积分。
步骤 6/8
目标：计算雅可比行列式
反解：\( x = \sqrt{u/v} \), \( y = \sqrt{uv} \)。
计算雅可比行列式绝对值：
\[ \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{2v} \]
公式：\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| = \frac{1}{2v}
提示：雅可比行列式需取绝对值，计算时注意符号。
步骤 7/8
目标：转换积分并计算
二重积分化为：
\[ I = \int_{v=1}^{4} \int_{u=1}^{4} \left( G'(u) - F'(u) \right) \cdot \frac{1}{2v} \, du\, dv \]
先对 \( v \) 积分：
\[ \int_{1}^{4} \frac{1}{2v} \, dv = \frac{1}{2} \ln v \Big|_{1}^{4} = \frac{1}{2} \ln 4 = \ln 2 \]
再对 \( u \) 积分：
\[ \int_{1}^{4} \left( G'(u) - F'(u) \right) du = \left[ G(u) - F(u) \right]_{1}^{4} = G(4) - G(1) - F(4) + F(1) \]
公式：I = \ln 2 \cdot \left[ G(4) - G(1) - F(4) + F(1) \right]
提示：注意积分顺序，先对 \( v \) 积分再对 \( u \) 积分。
步骤 8/8
目标：利用周期性条件
已知 \( F(0) = F(4) \), \( G(0) = G(4) \)，但积分限为1到4，因此结果可直接表示为：
\[ I = \ln 2 \cdot \left[ G(4) - G(1) - F(4) + F(1) \right] \]
也可等价写为 \( \ln 2 \cdot \left[ G(0) - G(1) - F(0) + F(1) \right] \)。
公式：\boxed{\ln 2 \cdot \left[ G(4) - G(1) - F(4) + F(1) \right]}
提示：周期性条件在此处未直接简化结果，但可用于等价表达。
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