北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）解答如下问题：
（1）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|, x \in[-\pi, \pi]$ 的傅里叶级数．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定傅里叶级数的形式
由于 $f(x)=|x|$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上是偶函数，其傅里叶级数只含余弦项，正弦项系数为零。傅里叶级数形式为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)$$
公式：$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx$$
提示：利用偶函数性质，积分区间从 $[-\pi,\pi]$ 简化为 $[0,\pi]$，并乘以 $2/\pi$。
步骤 2/7
目标：计算 $a_0$
在 $[0,\pi]$ 上 $f(x)=x$，所以：
$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \, dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi$$
公式：$$a_0 = \pi$$
提示：注意 $a_0$ 是常数项，积分结果要除以2出现在级数中。
步骤 3/7
目标：计算 $a_n$（$n \ge 1$）
$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx$$
使用分部积分：令 $u=x$，$dv=\cos(nx)dx$，则 $du=dx$，$v=\frac{\sin(nx)}{n}$。
$$\int_0^\pi x \cos(nx) dx = \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n} dx$$
第一项代入上下限：$x=\pi$ 时 $\sin(n\pi)=0$，$x=0$ 时也为0，故第一项为0。
第二项：$$-\frac{1}{n} \int_0^\pi \sin(nx) dx = -\frac{1}{n} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi = \frac{1}{n^2} [\cos(nx)]_0^\pi = \frac{1}{n^2} (\cos(n\pi)-1)$$
由于 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，得：$$\int_0^\pi x \cos(nx) dx = \frac{(-1)^n-1}{n^2}$$
公式：$$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n-1}{n^2}$$
提示：注意 $\cos(n\pi)=(-1)^n$，当 $n$ 为偶数时 $a_n=0$，当 $n$ 为奇数时 $a_n$ 非零。
步骤 4/7
目标：化简 $a_n$ 为奇数项形式
当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k-1$（$k=1,2,\ldots$），则 $(-1)^n=-1$，代入得：
$$a_{2k-1} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-1-1}{(2k-1)^2} = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{(2k-1)^2} = -\frac{4}{\pi (2k-1)^2}$$
公式：$$a_{2k-1} = -\frac{4}{\pi (2k-1)^2}$$
提示：偶数项系数为0，只保留奇数项。
步骤 5/7
目标：写出傅里叶级数表达式
将 $a_0$ 和 $a_n$ 代入级数形式：
$$|x| = \frac{\pi}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) = \frac{\pi}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(-\frac{4}{\pi (2k-1)^2}\right) \cos((2k-1)x)$$
整理得：
$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}, \quad x \in [-\pi,\pi]$$
公式：$$|x| = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos((2k-1)x)}{(2k-1)^2}$$
提示：该级数在端点 $x=\pm\pi$ 处收敛到 $\pi$（因为 $|\pm\pi|=\pi$），与函数值一致。
步骤 6/7
目标：代入 $x=0$ 得到奇数项平方倒数和
取 $x=0$，则 $|0|=0$，$\cos((2k-1)\cdot 0)=1$，代入级数：
$$0 = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2}$$
移项得：
$$\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi}{2}$$
所以：
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$$
公式：$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$$
提示：这是证明巴塞尔问题的关键一步，注意 $x=0$ 在收敛区间内。
步骤 7/7
目标：利用奇偶项关系求全体平方倒数和
设 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，则全体正整数平方倒数可分解为奇数和偶数部分：
$$S = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^2} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2}$$
偶数部分：
$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{4}S$$
代入得：
$$S = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4}S$$
移项：
$$S - \frac{1}{4}S = \frac{\pi^2}{8} \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{4}S = \frac{\pi^2}{8}$$
解得：
$$S = \frac{\pi^2}{6}$$
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
提示：注意偶数项提取因子 $1/4$ 时，求和指标 $k$ 从1到无穷，与 $n$ 对应。
步骤 8/8
目标：结论
因此 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}$ 得证。
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