北京科技大学 2023年数学分析第0题

曲面 $S$ 由 $z = x^2 + y^2$ 和 $z = 8 - x^2 - y^2$ 围成，方向取外侧。两曲面的交线满足 $x^2 + y^2 = 8 - x^2 - y^2$，解得 $x^2 + y^2 = 4$，此时 $z = 4$。因此立体在 $xy$ 平面上的投影为圆盘 $x^2 + y^2 \le 4$，下曲面为开口向上的抛物面，上曲面为开口向下的抛物面。

将第二型曲面积分转化为三重积分。设 $P = \frac{2}{b+y} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right)$，$Q = \frac{1}{a+x} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^2}\right)$，$R = z$。由高斯散度定理： $$ \iint_S P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV $$

令 $t = \frac{a+x}{(b+y)^2}$，则 $$ \frac{\partial P}{\partial x} = \frac{2}{b+y} f'(t) \cdot \frac{1}{(b+y)^2} = \frac{2}{(b+y)^3} f'(t) $$ $$ \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{1}{a+x} f'(t) \cdot \left( -\frac{2(a+x)}{(b+y)^3} \right) = -\frac{2}{(b+y)^3} f'(t) $$ $$ \frac{\partial R}{\partial z} = 1 $$ 因此散度和为 $$ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = \frac{2}{(b+y)^3}f'(t) - \frac{2}{(b+y)^3}f'(t) + 1 = 1 $$

由高斯公式，原曲面积分等于被积函数为1的三重积分，即立体 $V$ 的体积： $$ I = \iiint_V 1 \, dV = \text{体积} $$ 其中 $V$ 是两抛物面所围区域。

采用柱坐标：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $z$ 不变，$r$ 从 $0$ 到 $2$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$，$z$ 从 $r^2$ 到 $8 - r^2$。体积为 $$ V = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{2} \int_{z=r^2}^{8-r^2} r \, dz \, dr \, d\theta $$ 先对 $z$ 积分：$\int_{z=r^2}^{8-r^2} dz = 8 - 2r^2$，再对 $r$ 积分： $$ \int_0^2 (8 - 2r^2) r \, dr = \int_0^2 (8r - 2r^3) \, dr = \left[4r^2 - \frac{1}{2}r^4\right]_0^2 = 16 - 8 = 8 $$ 最后对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，所以 $V = 2\pi \times 8 = 16\pi$。

因此原曲面积分等于该立体的体积，即 $I = 16\pi$。

因此原第二型曲面积分的结果为 $I = 16\pi$。