北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
六．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有定义，对任意的 $\displaystyle b>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a$ ．若 $\displaystyle \varphi(t)$在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \varphi(t x) f(x) \mathrm{d} x=a$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：变量代换，简化积分形式
令 $u = t x$，则 $x = \frac{u}{t}$，$dx = \frac{du}{t}$。当 $x$ 从 $0$ 到 $+\infty$ 时，$u$ 也从 $0$ 到 $+\infty$。于是：
$$ t \int_0^{+\infty} \varphi(tx) f(x) \, dx = t \int_0^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) \frac{du}{t} = \int_0^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du. $$
公式：t \int_0^{+\infty} \varphi(tx) f(x) \, dx = \int_0^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du
提示：注意积分限和微分元的变换，不要遗漏因子 $t$ 的抵消。
步骤 2/7
目标：利用极限条件，引入误差控制参数
因为 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = a$，所以对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > 0$，当 $x > M$ 时，有 $|f(x) - a| < \varepsilon$。同时，由于 $\int_0^{+\infty} \varphi(t) dt = 1$ 且 $\varphi$ 连续，可设 $\varphi$ 非负（或绝对可积）以便估计，并记 $|f(x)| \leq C$（由极限存在知 $f$ 有界）。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0, \forall x > M: |f(x) - a| < \varepsilon
提示：需要明确 $f$ 的有界性，这是后续估计的基础。
步骤 3/7
目标：拆分积分区间，分别估计
将积分拆为 $[0, A]$ 和 $[A, +\infty)$ 两部分，其中 $A$ 待定：
$$ \int_0^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du = \int_0^A \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du + \int_A^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du. $$
公式：\int_0^{+\infty} = \int_0^A + \int_A^{+\infty}
提示：拆分目的是分别处理 $u$ 小和 $u$ 大的区域，利用不同性质。
步骤 4/7
目标：处理第二部分（$u$ 大的区域）
取 $A$ 足够大，使得 $\int_A^{+\infty} |\varphi(u)| du < \varepsilon$（由积分收敛性，这总是可能的）。由于 $f$ 有界，设 $|f(x)| \leq C$，则：
$$ \left| \int_A^{+\infty} \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du \right| \leq C \int_A^{+\infty} |\varphi(u)| du < C \varepsilon. $$
公式：\left| \int_A^{+\infty} \varphi(u) f(u/t) du \right| \leq C \varepsilon
提示：这里需要 $\varphi$ 绝对可积或非负，否则需更精细处理；题目条件隐含可如此处理。
步骤 5/7
目标：处理第一部分（$u$ 小的区域）
当 $u \in [0, A]$ 且 $t \to 0^+$ 时，$\frac{u}{t} \to +\infty$，因此存在 $\delta > 0$，当 $0 < t < \delta$ 时，对所有 $u \in [0, A]$ 有 $\frac{u}{t} > M$，从而 $|f(u/t) - a| < \varepsilon$。于是：
$$ \left| \int_0^A \varphi(u) f\left(\frac{u}{t}\right) du - a \int_0^A \varphi(u) du \right| \leq \varepsilon \int_0^A |\varphi(u)| du \leq \varepsilon \cdot 1. $$
公式：\left| \int_0^A \varphi(u) f(u/t) du - a \int_0^A \varphi(u) du \right| \leq \varepsilon
提示：注意 $\int_0^A |\varphi(u)| du \leq \int_0^{+\infty} |\varphi(u)| du = 1$（假设非负或绝对可积）。
步骤 6/7
目标：合并估计，证明极限为 $a$
将两部分估计合并，并考虑 $\int_A^{+\infty} \varphi(u) du$ 的贡献：
$$ \begin{aligned} &\left| \int_0^{+\infty} \varphi(u) f(u/t) du - a \right| \\ &\leq \left| \int_0^A \varphi(u) (f(u/t)-a) du \right| + \left| \int_A^{+\infty} \varphi(u) f(u/t) du \right| + |a| \left| \int_A^{+\infty} \varphi(u) du \right| \\ &\leq \varepsilon \cdot 1 + C \varepsilon + |a| \varepsilon = (1 + C + |a|) \varepsilon. \end{aligned} $$ 由于 $\varepsilon$ 任意小，故极限为 $a$。
公式：\lim_{t \to 0^+} \int_0^{+\infty} \varphi(u) f(u/t) du = a
提示：注意最后一步需要 $\int_A^{+\infty} \varphi(u) du$ 也小于 $\varepsilon$，这由 $A$ 的选取保证。
步骤 7/7
目标：回到原变量，得出结论
由第一步代换，原极限等价于 $\lim_{t \to 0^+} \int_0^{+\infty} \varphi(u) f(u/t) du = a$，因此：
$$ \lim_{t \to 0^+} t \int_0^{+\infty} \varphi(tx) f(x) \, dx = a. $$
公式：\boxed{\lim_{t \to 0^+} t \int_0^{+\infty} \varphi(tx) f(x) \, dx = a}
提示：证明完成，注意每一步的误差控制要严谨。
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