北京科技大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列．证明．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{2^{n}}$ 具有相同的玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件与证明目标
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n \geq 0$（非负），且 $a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots \geq 0$（单调递减）。需要证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$ 具有相同的敛散性，即一个收敛当且仅当另一个收敛。
公式：$a_n \geq 0$, $a_n \searrow 0$
提示：注意单调递减和非负两个条件缺一不可，这是柯西凝聚判别法的前提。
步骤 2/6
目标：对原级数的部分和进行分组估计
考虑原级数的部分和 $S_{2^m} = \sum_{n=1}^{2^m} a_n$。将项按 $2$ 的幂次分组：对于固定的 $k$，考虑下标从 $2^{k-1}+1$ 到 $2^k$ 的项，共有 $2^k - 2^{k-1} = 2^{k-1}$ 项。由于数列单调递减，这些项中最大的为 $a_{2^{k-1}+1} \leq a_{2^{k-1}}$，最小的为 $a_{2^k} \geq a_{2^k}$。因此有不等式：
公式：$2^{k-1} a_{2^k} \leq \sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k} a_n \leq 2^{k-1} a_{2^{k-1}}$
提示：分组时注意下标范围，不要遗漏边界项。$a_{2^{k-1}}$ 是第 $k-1$ 组的最后一项，也是第 $k$ 组的第一项的上界。
步骤 3/6
目标：对不等式求和，建立原级数与凝聚级数的联系
将上述不等式对 $k=1,2,\dots,m$ 求和。左边求和得到：$\sum_{k=1}^m 2^{k-1} a_{2^k} \leq \sum_{n=1}^{2^m} a_n = S_{2^m}$。右边求和得到：$S_{2^m} = a_1 + \sum_{k=2}^m \sum_{n=2^{k-1}+1}^{2^k} a_n \leq a_1 + \sum_{k=2}^m 2^{k-1} a_{2^{k-1}}$。令 $j = k-1$，则右边可改写为 $a_1 + \sum_{j=1}^{m-1} 2^j a_{2^j}$。
公式：$\sum_{k=1}^m 2^{k-1} a_{2^k} \leq S_{2^m} \leq a_1 + \sum_{j=1}^{m-1} 2^j a_{2^j}$
提示：注意 $k=1$ 时，$2^{0} a_{2}$ 对应第一组（$n=2$ 到 $2$），而 $a_1$ 单独处理。
步骤 4/6
目标：用凝聚级数的部分和表达不等式
令 $T_m = \sum_{k=1}^m 2^k a_{2^k}$，则 $\sum_{k=1}^m 2^{k-1} a_{2^k} = \frac{1}{2} T_m$。于是左边不等式变为 $\frac{1}{2} T_m \leq S_{2^m}$。右边不等式变为 $S_{2^m} \leq a_1 + T_{m-1}$。因此得到核心不等式链：
公式：$\frac{1}{2} T_m \leq S_{2^m} \leq a_1 + T_{m-1}$
提示：注意 $T_m$ 与 $T_{m-1}$ 相差一项 $2^m a_{2^m}$，这个关系在证明收敛性时很重要。
步骤 5/6
目标：证明收敛性等价
（1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则部分和 $S_{2^m}$ 有上界。由 $\frac{1}{2} T_m \leq S_{2^m}$ 知 $T_m$ 有上界，且 $T_m$ 单调递增（因为 $a_n \geq 0$），故 $\lim_{m \to \infty} T_m$ 存在有限，即 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$ 收敛。
（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$ 收敛，则 $T_{m-1}$ 有上界。由 $S_{2^m} \leq a_1 + T_{m-1}$ 知 $S_{2^m}$ 有上界。由于 $a_n \geq 0$，原级数的部分和 $S_N$ 单调递增，且对任意 $N$，存在 $m$ 使 $2^m \geq N$，则 $S_N \leq S_{2^m}$，故 $S_N$ 有上界，从而原级数收敛。
公式：收敛性等价：$\sum a_n$ 收敛 $\iff$ $\sum 2^n a_{2^n}$ 收敛
提示：证明中利用了部分和的单调有界性，注意 $T_m$ 也是单调递增的。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，对于单调递减的非负数列 $\{a_n\}$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$ 的敛散性相同。这就是数学分析中的柯西凝聚判别法。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^n a_{2^n}$ 同敛散
提示：该判别法常用于处理 $p$-级数等，例如 $a_n = 1/n^p$ 时，$2^n a_{2^n} = 2^{n(1-p)}$，可快速判断敛散性。
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