北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}}(\cos x)^{\frac{\pi}{2}-x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别未定式类型并取对数
设 $y = (\cos x)^{\frac{\pi}{2} - x}$，则 $\ln y = \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \ln(\cos x)$。当 $x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-$ 时，$\cos x \to 0^+$，$\frac{\pi}{2} - x \to 0^+$，形成 $0^0$ 型未定式，故取对数转化为 $0 \cdot (-\infty)$ 型。
公式：\ln y = \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \ln(\cos x)
提示：注意 $\cos x$ 在 $x \to \frac{\pi}{2}^-$ 时趋于 $0^+$，对数有意义。
步骤 2/5
目标：变量代换简化表达式
令 $t = \frac{\pi}{2} - x$，则当 $x \to \left(\frac{\pi}{2}\right)^-$ 时，$t \to 0^+$。又 $\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) = \sin t$，于是 $\ln y = t \ln(\sin t)$。
公式：\ln y = t \ln(\sin t), \quad t \to 0^+
提示：代换后注意 $\sin t$ 在 $t \to 0^+$ 时为正。
步骤 3/5
目标：利用等价无穷小简化对数项
当 $t \to 0^+$ 时，$\sin t \sim t$，因此 $\ln(\sin t) \sim \ln t$。于是极限 $\lim_{t \to 0^+} t \ln(\sin t)$ 转化为 $\lim_{t \to 0^+} t \ln t$。
公式：\sin t \sim t \quad (t \to 0), \quad \ln(\sin t) \sim \ln t
提示：等价无穷小替换仅适用于乘除因子，此处 $\ln(\sin t)$ 作为整体因子可替换。
步骤 4/5
目标：计算 $t \ln t$ 的极限
计算 $\lim_{t \to 0^+} t \ln t$。将其改写为 $\frac{\ln t}{1/t}$，应用洛必达法则：$\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t \to 0^+} (-t) = 0$。
公式：\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0
提示：也可直接使用已知极限结论：$t \ln t \to 0$ 当 $t \to 0^+$。
步骤 5/5
目标：回代得到原极限
由 $\lim_{t \to 0^+} t \ln(\sin t) = 0$，即 $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \ln y = 0$，因此 $\lim_{x \to (\pi/2)^-} y = e^0 = 1$。
公式：\lim_{x \to (\pi/2)^-} (\cos x)^{\frac{\pi}{2} - x} = e^{0} = 1
提示：取对数后极限为0，原极限为 $e^0=1$，注意指数运算的连续性。
步骤 6/6
目标：回代得到原极限
由 $\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0$ 得 $\lim_{x \to (\pi/2)^-} \ln y = 0$，因此原极限 $\lim_{x \to (\pi/2)^-} y = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{x \to (\pi/2)^-} (\cos x)^{\frac{\pi}{2} - x} = 1$
提示：最终结果需确认指数运算正确，$e^0=1$。
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