北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $a=\sum_{i=1}^{n} a_{i}, a_{i}>0$ ，求 $S=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$ 的最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待求问题
已知 $a = \sum_{i=1}^{n} a_i$，其中 $a_i > 0$，求 $S = \sum_{i=1}^{n} a_i^2$ 的最小值。这是一个在固定和条件下求平方和最小值的问题。
公式：$a = \sum_{i=1}^{n} a_i, \quad S = \sum_{i=1}^{n} a_i^2$
提示：注意 $a_i > 0$ 的条件，确保后续不等式成立。
步骤 2/5
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
根据柯西-施瓦茨不等式，对于正数序列，有 $\left(\sum_{i=1}^{n} 1^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \ge \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)^2$。左边第一个求和为 $n$，代入得 $n \cdot S \ge a^2$。
公式：$\left(\sum_{i=1}^{n} 1^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \ge \left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)^2$
提示：柯西不等式的形式要记牢：$(\sum x_i^2)(\sum y_i^2) \ge (\sum x_i y_i)^2$，这里取 $x_i=1, y_i=a_i$。
步骤 3/5
目标：推导出平方和的下界
由 $n \cdot S \ge a^2$，两边同时除以 $n$（$n>0$），得到 $S \ge \frac{a^2}{n}$。因此 $S$ 的最小值至少为 $\frac{a^2}{n}$。
公式：$S \ge \frac{a^2}{n}$
提示：注意 $n$ 是正整数，除以 $n$ 时不等号方向不变。
步骤 4/5
目标：确定等号成立的条件
柯西不等式取等号的条件是 $\frac{a_1}{1} = \frac{a_2}{1} = \cdots = \frac{a_n}{1}$，即 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$。又因为它们的和为 $a$，所以每个 $a_i = \frac{a}{n}$。由于 $a_i > 0$，当 $a>0$ 时此条件成立。
公式：$a_1 = a_2 = \cdots = a_n = \frac{a}{n}$
提示：等号条件容易忽略，需要验证是否满足题目中的正数条件。
步骤 5/5
目标：得出最小值并总结
因此，当所有 $a_i$ 相等时，平方和取到最小值，最小值为 $S_{\min} = \frac{a^2}{n}$。
公式：$S_{\min} = \frac{a^2}{n}$
提示：最终答案要写成 $oxed{\frac{a^2}{n}}$ 的形式。
步骤 6/6
目标：得出最小值
因此，$S$ 的最小值为 $\frac{a^2}{n}$，在 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n = \frac{a}{n}$ 时取得。
公式：$S_{\min} = \frac{a^2}{n}$
提示：最小值是一个表达式，不要忘记分母 $n$。
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