北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．求积分 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察被积函数结构，确定换元方法
被积函数为 $\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}$，分母 $\sqrt{x(1-x)}$ 提示可令 $x = \sin^2 t$，此时 $\sqrt{x} = \sin t$，$\sqrt{1-x} = \cos t$，$dx = 2\sin t \cos t \, dt$，且 $\sqrt{x(1-x)} = \sin t \cos t$（在积分区间内为正）。
公式：$x = \sin^2 t$，$dx = 2\sin t \cos t \, dt$
提示：注意积分区间内 $\sin t$ 和 $\cos t$ 均为正，根号可直接去掉绝对值。
步骤 2/5
目标：进行换元并确定新的积分上下限
令 $x = \sin^2 t$，则当 $x = \frac{1}{2}$ 时，$\sin^2 t = \frac{1}{2}$，得 $\sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$，$t = \frac{\pi}{4}$；当 $x = \frac{3}{4}$ 时，$\sin^2 t = \frac{3}{4}$，得 $\sin t = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$t = \frac{\pi}{3}$。同时 $\arcsin \sqrt{x} = \arcsin(\sin t) = t$，因为 $t \in [\pi/4, \pi/3]$ 在反正弦主值范围内。
公式：$\arcsin \sqrt{x} = t$，积分限 $t: \frac{\pi}{4} \to \frac{\pi}{3}$
提示：换元后要同步更新积分上下限，并注意反正弦函数的定义域。
步骤 3/5
目标：代入换元化简被积表达式
原积分变为 $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{t}{\sin t \cos t} \cdot 2\sin t \cos t \, dt = \int_{\pi/4}^{\pi/3} 2t \, dt$。
公式：$\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} dx = 2t \, dt$
提示：化简时注意分子分母的 $\sin t \cos t$ 恰好约去，得到简洁形式。
步骤 4/5
目标：计算简化后的积分
计算 $\int_{\pi/4}^{\pi/3} 2t \, dt = 2 \cdot \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \left[ t^2 \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \left(\frac{\pi}{3}\right)^2 - \left(\frac{\pi}{4}\right)^2 = \pi^2 \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{16}\right) = \pi^2 \cdot \frac{7}{144} = \frac{7\pi^2}{144}$。
公式：$\int 2t \, dt = t^2$
提示：计算平方差时注意通分，避免算术错误。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
原积分的值为 $\frac{7\pi^2}{144}$。
公式：$\int_{1/2}^{3/4} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \, dx = \frac{7\pi^2}{144}$
提示：最终结果应化简为最简分数形式。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
因此，所求积分为 $\frac{7\pi^2}{144}$。
提示：最终答案要化简，且注意格式。
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