北京科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
七．讨论 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{a}{1+x^{2} a^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle \left[a_{0},+\infty\right)$ 和 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的一致收敛性，其中 $\displaystyle a_{0}>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出积分并化简
考虑含参积分 $I(a)=\int_0^{+\infty} \frac{a}{1+x^2 a^2} \, dx$。令 $t = a x$，则 $dx = dt/a$，积分变为 $I(a) = \int_0^{+\infty} \frac{a}{1+t^2} \cdot \frac{dt}{a} = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^2} \, dt = \frac{\pi}{2}$。因此对每个固定的 $a>0$，积分收敛到常数 $\pi/2$。
公式：I(a)=\int_0^{+\infty} \frac{a}{1+x^2 a^2} \, dx = \frac{\pi}{2}
提示：注意换元后积分与参数 $a$ 无关，这提示可能有一致收敛性，但需小心 $a$ 接近 $0$ 的情形。
步骤 2/5
目标：分析一致收敛的定义并计算余项
一致收敛要求：对任意 $\varepsilon>0$，存在与 $a$ 无关的 $X>0$，使得对所有 $a$ 属于所讨论区间，有 $\left| \int_X^{+\infty} f(x,a) \, dx \right| < \varepsilon$。这里 $f(x,a)=\frac{a}{1+a^2 x^2}$。计算余项：令 $u=ax$，得 $R(X,a)=\int_X^{+\infty} \frac{a}{1+a^2 x^2} \, dx = \int_{aX}^{+\infty} \frac{1}{1+u^2} \, du = \frac{\pi}{2} - \arctan(aX) = \arctan\left(\frac{1}{aX}\right)$（对 $aX>0$）。
公式：R(X,a)=\arctan\left(\frac{1}{aX}\right)
提示：余项表达式简化是关键，注意 $\frac{\pi}{2} - \arctan(y) = \arctan(1/y)$ 对 $y>0$ 成立。
步骤 3/5
目标：讨论区间 $[a_0,+\infty)$ 上的一致收敛性
当 $a \ge a_0 > 0$ 时，有 $aX \ge a_0 X$，从而 $R(X,a)=\arctan\left(\frac{1}{aX}\right) \le \arctan\left(\frac{1}{a_0 X}\right)$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $X > \frac{1}{a_0 \tan\varepsilon}$，则 $\arctan\left(\frac{1}{a_0 X}\right) < \varepsilon$，且该 $X$ 与 $a$ 无关。因此积分在 $[a_0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：R(X,a) \le \arctan\left(\frac{1}{a_0 X}\right), \quad X > \frac{1}{a_0 \tan\varepsilon}
提示：利用 $a \ge a_0$ 放大余项，得到与 $a$ 无关的控制。
步骤 4/5
目标：讨论区间 $(0,+\infty)$ 上的一致收敛性
考虑整个 $(0,+\infty)$。取 $\varepsilon = 1$，对任意大的 $X$，令 $a = \frac{1}{2X}$，则 $R(X,a)=\arctan\left(\frac{1}{aX}\right)=\arctan(2) > 1$。因此不存在统一的 $X$ 使得对所有 $a>0$ 余项小于 $1$，故积分在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。
公式：R\left(X,\frac{1}{2X}\right)=\arctan(2)>1
提示：反证法：取 $\varepsilon=1$，通过构造 $a$ 依赖于 $X$ 来破坏一致收敛条件。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）当 $a \in [a_0,+\infty)$（其中 $a_0>0$）时，积分一致收敛；
（2）当 $a \in (0,+\infty)$ 时，积分不一致收敛。
提示：注意区分闭区间和开区间，$a_0$ 是任意正数。
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